Se dice que una curva$C$ es trigonal si admite una función racional$f: C \to \mathbb{CP}^1$ de grado$3$. ¿Hay alguna curva plana no esular del grado cuatro trigonal? ¿Se puede elegir el mapa para que tenga exactamente$10$% puntos de ramificación?
Respuestas
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Alex Fok
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Para la primera pregunta, la respuesta es sí. Podemos elegir un punto$P$ en la curva del plano no horizontal$C$ del grado 4. Proyecto$C$ de$P$ en un hiperplano (es decir, una copia de$\mathbb{P}^1$) en$\mathbb{P}^2$. Observando que cualquier línea que pase por$P$ corta$C$ en otros tres puntos, esta proyección es un mapa racional de grado 3.
Kevin Dong
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La respuesta a ambas preguntas es sí.
La construcción de un $($en casi todas partes$)$ $3$-sábana que cubre el mapa por la elección de un punto de nuestra curva de $C$ y un hyperplane no pasa a través de él, y que se proyecta desde el punto a la hyperplane. Si calculamos las coordenadas, esta claro que sería dada por una función racional, y tiene el grado $3$ por el Teorema de Bézout. Por Riemann-Hurwitz, que se aplica en todos los casos mediante el uso de la $$e_\varphi(P) = v_P(\varphi^*t_{\varphi(P)})$$"vanishing of defining polynomial $P$ of $C$ along the projection line" definition, we have that$$\sum e_\varphi(P) - 1 = 4 + 3 \cdot 2 = 10,$$so we have exactly $10$ ramification points when there is no higher order ramification. Ramification points of order higher than $2$ correspond to degree $3$ or higher vanishing of $P$ a lo largo de una línea de proyección, es decir, la tangencia de la línea de proyección en un punto de inflexión. Hay un número finito de estos, de manera genérica que la elección del punto y hyperplane no mayor ramificación, y las propiedades deseadas.
