¿Cuál es la lógica más expresiva para que las presentaciones de las estructuras algebraicas "funcionen"?

Question

Creo que esta es una de las mejores preguntas que he hecho en mucho tiempo. Espero que la disfruten.

En mi opinión, una de las ideas más importantes del álgebra moderna es la de que podemos presentar estructuras algebraicas mediante generadores y relaciones. Explícitamente:

• Empezar con una teoría $T$ y un conjunto $X.$

• Escriba $F(X)$ para el $T$ -generada libremente por $X$ .

• Dejemos que $R$ denotan una relación binaria sobre $F(X)$

• Dejemos que $R^\sim$ denotan el menor $T$ -congruencia de álgebra en $F(X)$ que incluye $R$ .

• Definimos que $\langle X \mid R \rangle$ es sólo $F(X)/R^\sim.$

Ahora bien, si $T$ es un algebraico teoría (con lo que quiero decir que es axiomatizable puramente por ecuaciones universalmente cuantificadas), entonces podemos ciertamente llevar a cabo todos los pasos anteriores. Pero realmente, esto es demasiado restrictivo; si $T$ es una teoría algebraica, entonces:

• podemos tomar productos cartesianos de $T$ -y

• todo subconjunto de un $T$ -Álgebra $X$ que se cierra bajo las operaciones de $T$ es en sí mismo un $T$ -bajo las operaciones inducidas.

y ninguna de estas observaciones se utilizó para asegurar que las presentaciones están bien definidas. Todo lo que necesitábamos era:

1. Las álgebras libres existen.

2. Para la relación binaria $R$ en $F(X)$ existe una relación de congruencia mínima en $R^\sim$ que incluye $R$ .

3. Relaciones de congruencia en un $T$ -y los cocientes de esa álgebra son esencialmente la misma cosa.

Esto motiva mi pregunta.

Pregunta. ¿Cuál es la lógica más expresiva para que las presentaciones de las estructuras algebraicas "funcionen"? Alternativamente, ¿cuál es la lógica más expresiva que satisface cada uno de los tres requisitos anteriores?

Answer 1

Esto no es un intento de respuesta completa, pero es demasiado largo para un comentario.

Leyendo la obra de Gorbunov "Teoría algebraica de las cuasivariedades" (en ruso) me he topado con la siguiente construcción. En mi opinión, es interesante y similar a la tuya, pero en lugar de la relación binaria tenemos el conjunto de fórmulas como el conjunto de relaciones. No sé si usted está familiarizado con esta construcción o no y puede ser útil para proceder a responder exactamente a su pregunta, por lo que voy a borrar mi respuesta si no lo es.

Este método de descripción $L$ -fue propuesto por Maltsev. No estoy seguro de la terminología que aparece a continuación, ya que es mi traducción del ruso, pero la construcción es clara.

Dejemos que $L$ sea una firma y $\bf K$ sea una clase de $L$ -estructuras, $\mathcal{A} \in \bf K$ . Consideremos el conjunto de variables $X$ y el conjunto $\Delta$ de atómica $L$ -fórmulas con variables de $X$ .

Diremos que $(X, \Delta)$ define $\mathcal{A}$ en $\bf K$ si existe $f \colon X \to A$ satisfactorio:

1. $f(X)$ genera $\mathcal{A}$ y $\mathcal{A} \models \Delta$ en la interpretación $f$ .
2. Para todos $\mathcal{B} \in \bf K$ y $g \colon X \to B$ , si $\mathcal{B} \models \Delta$ en la interpretación $g$ entonces existe un homomorfismo $h \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ tal que $h(f(x)) = g(x)$ para todos $x \in X$ .

Si $(X, \Delta)$ define $\mathcal{A}$ con $f$ y $\mathcal{B}$ con $g$ en $\bf K$ , entonces un homomorfismo $h \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , de tal manera que $h(f(x)) = g(x)$ para todos $x \in X$ es un isomorfismo. Por lo tanto, un $L$ -estructura definida por $(X, \Delta)$ es única hasta el isomorfismo.

Si esto $L$ -la denotamos por $\mathcal{F}_{\bf K}(X, \Delta)$ . $X$ se dice que el conjunto de generadores y $\Delta$ se dice que el conjunto de relaciones de $\mathcal{F}_{\bf K}(X, \Delta)$ .

Una clase abstracta $\bf K$ de $L$ -estructuras se llama una prevaricación si $\bf{K}$ $= \bf{SP}$$ ( $$\bf{K}$$ )$.

Hay un teorema de existencia demostrado por Maltsev.

Teorema: Una clase abstracta $\bf K$ de $L$ -es una prevariedad si y sólo si $\mathcal{F}_{\bf K}(X, \Delta)$ existe para cada par definitorio $(X, \Delta)$ .

Este teorema describe precisamente las clases de $L$ -estructuras en las que este método de presentación por generadores y relaciones "funciona". Espero que esto te sea útil o al menos interesante.