El $\limsup$ es el más grande número real, o $\pm\infty$, que es el límite de una larga de $S_n$, mientras que el $\liminf$ es el menor número real (o $\pm\infty$) que es el límite de una larga de $S_n$.
De ello se desprende que $\lim a_n$ existe (en el sentido amplio) si y sólo si $\liminf a_n=\limsup a_n$.
La existencia de $\liminf,\limsup$ sigue de la integridad de $\mathbb R$.
Si $S_n$ es una secuencia tal que $\limsup S_n=\infty$, entonces hay una larga, $S_{n_k}$ que es estrictamente creciente. Por lo tanto, su límite es $\infty$.
De la edición:
Uno no puede tratar a $\infty$ como un número real. Es bueno cuando una secuencia tiene un límite dentro de los números reales, pero a veces es suficiente con que es convergente, es decir, satisface alguna definición.
Decir que el límite de una secuencia es $\infty$ es decir que aunque la secuencia no tiende a un número real, se comporta "lo suficientemente bueno". Esto es en contraste a las secuencias que no tienen ningún límite en absoluto y sólo saltar entre los números.
Esta es la razón por la que a veces nos dicen que converge en un sentido amplio, cuando se tiene el límite de $\pm\infty$. A veces, cuando el contexto es lo suficientemente clara, se puede omitir el "sentido amplio".
