¿Por qué es $L^{\infty}$ ¿no es separable?

Question

$l^p (1p<{\infty})$ y $L^p (1p<)$ son espacios separables.

¿Qué ha cambiado cuando el valor de $p$ pasa de ser un número finito a ${\infty}$ ?

Nuestro profesor nos dio algunas pistas de que existe un subconjunto incontable tal que la distancia de dos elementos cualesquiera en él no es menor que algún $\delta>0$ .

La verdad es que no entiendo muy bien la pregunta, pero espero haberla aclarado lo suficiente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Ser separable significa tener un subconjunto denso contable. Supongamos que $(M, d)$ es un espacio métrico y que $U\subseteq M$ sea un subconjunto incontable y $r > 0$ . Supongamos que para todo $x \neq y \in U$ , $d(x,y) \ge r$ . Sea $C$ sea cualquier subconjunto contable de $M$ . Entonces $C$ sólo puede encontrarse con un número contable de las bolas $B_{r/2}(x)$ para $x\in U$ . Sea $G$ sea la unión de todos los $B_{r/2}(x)$ para $x\in U$ que no cumplen $C$ . $G$ es un subconjunto abierto no vacío de $M$ que no cumple con $C$ .

No puede haber ningún subconjunto denso contable de $M$ .

Considere el caso de $\ell^\infty$ . Para cada subconjunto $Q$ de los números enteros, sea $x_Q$ sea la secuencia que es 1 en $G$ y 0 de él. El $x_Q$ son incontables y dos elementos cualesquiera de esta colección están a distancia 1. Acabamos de demostrar que $\ell^\infty$ no es separable.

Se puede generar una construcción similar para $L^\infty$ . Consideremos la subclase incontable de funciones características $\{\chi_{B_r(0)}\}_{r>0}\subseteq L^\infty(\mathbb{R}^n)$ . Entonces cada par de elementos distintos en él estaría a una distancia de 1 unidad. Ergo no puede haber ningún subconjunto contable de $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ que es denso en él.

Answer 2

Con la topología $\|f-g\|_{l^\infty}=\sup_i |f_i-g_i|$ es fácil demostrar que si C es un conjunto contable cualquiera, y $(f_{ij})_j$ una secuencia de elementos de $C$ se puede tomar un elemento $h\in l^\infty$ para que $h_i= 0$ si $|f_{ii}|>1$ , $h_i=2$ de lo contrario, por lo tanto $\|f_{j}-h\|>1/2$ para todos $j$ . Entonces ninguna bola de radio $1/2$ alrededor de $h$ puede contener un elemento de $C$ .