$A^2=B$ $B$ Dónde está la matriz de $3\times3$ cuya entrada sólo distinto de cero es la superior derecha entrada de resolver

Question

Encontrar todos los % de matrices $A$tal que matriz de $ $$A^2= \left( \begin {array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end {array} \right) $$ where $A$ is a $3\times 3.

$A= \left( \begin {array}{ccc} 0&1&1\\ 0&0&1 \\ 0&0&0\end {array} \right) $ y $A= \left( \begin {array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1 \\ 0&0&0\end {array} \right) $,

pero, ¿cómo puedo encontrar todas las matrices?

Answer 1

Tienes $A^4=0$, y puesto que es una matriz de $3\times 3$ sigue que $A^3=0$. Esto significa que {pmatrix} de $$ A\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end= $ 0 y $$\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix} $ A = 0

Dar que

$A =\begin{pmatrix} 0&a&b\\ 0&c&d\\ 0&0&0\end{pmatrix} $$ ahora tenemos

$$ A ^ 2 =\begin{pmatrix} 0&ac&ad\\ 0&c^2&dc\\ 0&0&0\end{pmatrix} $$ % que $c=0$y $ad=1$. Por lo tanto la solución general es

$A =\begin{pmatrix} 0&a&b\\ 0&0&a^{-1}\\ 0&0&0\end{pmatrix}. $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $A^4=0$. Así, todos los autovalores de a $A$ debe $0$, con lo que su forma normal de Jordan tiene una de las siguientes formas $$ A_1=\left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end {array} \right) \text{ o } A_2=\left( \begin {array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end {array} \right) \text{ o } A_3=\left( \begin {array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1 \\ 0&0&0\end {array} \right) $$ Las dos primeras opciones son inmediatamente descalificado debido a que su cuadrado es $0$. Por lo tanto $A$ deberán ser similares a las $A_3$, es decir, $A= CA_3C^{-1}$ para una invertible C. Ahora $B = A^2 = C A_3^2 C^{-1} = C B C^{-1}$, lo $B$ $C$ han de desplazarse. Por lo tanto su espacio de soluciones a $A^2 = B$ está dado por

$$\{CA_3C^{-1}\vert C \in Gl(\mathbb{R},3), [B,C] = 0\}$$

Mediante la resolución de la ecuación lineal $[B,C] = 0$ ver $C$ satisface $C \in Gl(\mathbb{R},3), [B,C] = 0$ si y sólo si es de la forma

$$C=\left( \begin {array}{ccc} \lambda&*&*\\ 0&\mu&* \\ 0&0&\lambda\end {array} \right) $$

para $\lambda,\mu \neq 0$.

Answer 3

No sé acerca de todas las soluciones, pero dado una solución, puede generar un infinito muchas otras soluciones: dejar $$ P =\begin{pmatrix} 1 & x & y\\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ nota que $$ P ^ {-1} =\begin{pmatrix} 1 & -x & xz-y\\ 0 & 1 & -z \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ si $$ A ^ 2 =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$ entonces $$ (P ^ {-1} AP) ^ 2 = P ^ {-1} A ^ 2 P =\begin{pmatrix} 1 & -x & xz-y\\ 0 & 1 & -z \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{} pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x & y\\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$