Determinación de composiciones de funciones trigonométricas conociendo Euler ' identidad etcetera

Question

¿Cómo se determina: $$\cos^2(\arctan(x))?$$

Yo sé lo que es igual, ya que su en las tablas. Pero sin necesidad de trabajar con muchas identidades trigonométricas, no queda claro cómo encontrar este tipo de cosas.

¿Cómo podría usted ver esto con el mínimo número de identidades trigonométricas?

$\cos^2(\arctan(x))=\cos(\arctan(x))\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac1{1+x^2}.$

La identidad que se usa aquí, que yo no sabía. Parece que en situaciones similares, en un examen, me gustaría tener grandes problemas sin estas identidades. Puede que todas estas cosas se resuelven por saber algo acerca de Eulers identidad y tal?

Answer 1

Definir el % de punto $P(\theta)=(1,x)$así que $\tan(\theta) = x$. Tenga en cuenta que tenemos que tener $\theta$ en el primer o cuarto cuadrante para $\theta = \arctan x$ para ser verdad.

En la imagen vemos que $\cos^2(\arctan x) = \cos^2 \theta = \dfrac{1}{1+x^2}$.

Answer 2

Me parece que es la forma más fácil de resolver estos a $\theta$ $\arctan{x}$, así que el $\tan{\theta}=x$. Entonces tenemos\begin{align*} \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}&=x\\ \cos{\theta}&=\frac{\sin{\theta}}{x}\\ \cos{\theta}&=\frac{\sqrt{1-\cos^2{\theta}}}{x}\\ x\cos{\theta}&=\sqrt{1-\cos^2{\theta}}\\ x^2\cos^2{\theta}&=1-\cos^2{\theta}\\ (x^2+1)\cos^2{\theta}&=1\\ \cos^2{\theta}&=\frac{1}{x^2+1}\\ \end{align*} esto puede parecer más difícil, pero después el tercer paso, sólo tenemos que utilizar manipulaciones algebraicas y no tiene que preocuparse más sobre trigonometría. Las dos mejores maneras para hacer más fácil resolver un problema de trigonometría están deshaciéndose de inversas como tengo en este problema y escribir todo en términos de seno y coseno.

Answer 3

De la conocida identidad trig $$\sec^2y=1+\tan^2y$ $ y $$\sec y=\frac{1}{\cos y}$ $ uno puede encontrar fácilmente implica de $$\cos^2y=\frac{1}{1+\tan^2y}$$ conexión $y=\arctan x$ $$\cos^2(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$ $

Answer 4

En primer lugar, permite comprobar la gama de comúnmente definida $\arctan (x)$ porque nuestro resultado será dependerá de esto. Generalmente se toma para ser $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Así $\cos$ será positivo sobre este dominio.

Aquí este análisis no es de mucha utilidad ya hemos ajustado el término de $\cos$, que siempre será positivo de todos modos.

Ahora para obtener el valor de $\cos(\arctan(x))$ $\arctan(x)$ de ángulo agudo, sea este ángulo $\phi$.

$$\begin{align} \phi &= \arctan (x) \tag{1}\\ \tan(\phi) &= x\\ \frac{1}{1+\tan^2 \phi} &= \frac{1}{1+x^2}\\ \cos^2 \phi &= \frac{1}{1+x^2}\\ \implies \cos^2 (\arctan x) &=\frac{1}{1+x^2} \end {Alinee el} $$

Answer 5

Hay (como es a menudo el caso con identidades trigonométricas) varias formas de solucionar esto, y los ya publicados-de las respuestas están bien. He aquí otra, que me gusta porque se utiliza una herramienta de propósito general.

La herramienta en cuestión: el famoso half-ángulo de fórmulas. Estos son muy útiles y reducir muchas identidades trigonométricas de la rutina de manipulación algebraica. En caso de que no ya los conoces, aquí están. Deje $t=\tan\frac12\theta$; a continuación,$\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, e $\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}$, e $\tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}$.

¿Por qué son útiles aquí? Debido a $\cos^2\phi$ está muy estrechamente relacionado con $\cos2\phi$, lo que significa que tenemos coseno de dos veces en un arco tangente, que si te pones a pensar por un momento que usted verá es exactamente lo que la mitad de ángulo fórmula para cos nos dice cómo manejar.

Así. Estamos llevando $\tan^{-1}x$ y queremos (en efecto) el coseno de un par de veces este, así que escribe $x=\tan\frac12\theta$. La fórmula de arriba, dice que $\cos\theta=\frac{1-x^2}{1+x^2}$; llamar a esta $c$. La cosa se nos ha pedido es $\cos^2\frac12\theta$ y tenemos $c=2\cos^2\frac12\theta-1$$\cos^2\frac12\theta=\frac{c+1}2=\frac1{1+t^2}$.