Considere el conjunto de todas las matrices reales invertibles de $n×n$. ¿Es ese conjunto conexo?

Question

Pensé en crear un camino desde una matriz $A$ hasta una matriz $B$ usando sus trazas, pero no llegué a ninguna parte.

Answer 1

Sugerencia:

Considera $U = \det^{-1}(-\infty, 0)$ y $V = \det^{-1}(0,\infty)

Answer 2

Si $\det A > 0$ y $\det B < 0$, no se pueden unir mediante ningún arco continuo $\gamma$. Si $\gamma(0) = A$ y $\gamma(1) = B$, la continuidad del determinante y el teorema del valor intermedio nos dan $0

Answer 3

$\text{Hecho}$ : La imagen continua de un conjunto conectado es unido.

Defina una función $f:GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ por $f(A)=det(A)$ ; donde $A$ es una matriz real de $n \times n$ y $det(A)$ denota el determinante de la matriz $A$.

Observe que el mapa $f$ es continuo, y su imagen es $\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace$. Si $GL_n(\mathbb{R})$ es conectado, entonces su imagen, es decir, $\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace$ debe ser conectada, lo cual es absurdo. Por lo tanto, $GL_n(\mathbb{R})$ no puede ser conexo.