Probabilidad de "Unión" de eventos

Question

Que $\{X(t)\}$ sea un proceso estocástico con $t\in [0, T]$.

Es posible demostrar que

$P(\exists t\in [0, T] : X(t) >a) \leq\int_0^TP(X(t)>a)dt$?

Mi idea era escribir el lado izquierdo como la Unión de eventos, el problema es esta Unión no es contable... ¿Es eso un problema?

Answer 1

Desde su proceso estocástico es completamente arbitraria, y el valor de $a$ son una distracción. Bien podemos tomar sólo una familia $A_t$ de eventos indexados por $t\in[0, T]$ y pregunte si

$$P\left(\bigcup_t A_t\right)\leq \int_0^TP(A_t)dt$$

Esto es cierto en el caso discreto. Cuando se generaliza la identidad de $P(\bigcup_n A_n)\leq \sum_n P(A_n)$ a un continuo índice, se plantea la cuestión de en qué medida el uso de la integral que se va a generalizar que suma más de $n$. En este caso, la elección de la medida de Lebesgue es arbitraria. Ya que no existen las condiciones impuestas en los eventos de $A_t$, ¿por qué la medida de Lebesgue ser relevante aquí? Por lo tanto no hay realmente ninguna razón para que esta proposición sea verdadera. Y, de hecho, podemos simplemente dejar que $P(A_0)=1$$P(A_t)=0$$t>0$.

De hecho, hay un sentido en el que podemos mostrar que la desigualdad que se mantiene en el caso discreto no puede ser generalizado. El mínimo se podría preguntar de tal generalización sería que la mano derecha - la que va a sustituir a $\sum P(A_n)$ - sólo debe depender de la función de $f(t)=P(A_t)$. Se debe depender sólo de las probabilidades, y no en el conjunto teórico de las propiedades de los eventos $A_t$. Después de todo, si se dejaba a depender de los acontecimientos en sí, que podría ser $P(\bigcup A_t)$.

Si $f$ es de contables apoyo, estamos reducido para el caso discreto. Y si $f$ tiene innumerables apoyo, entonces no hay tal desigualdad es posible, en general, distinta de la trivial enlazado $1$, ya que para cualquier $f$ de innumerables apoyo podemos encontrar a las familias de los eventos de $A_t$ tal que $P(\bigcup A_t)=1$. Por ejemplo, se puede tomar como la probabilidad de espacio en el intervalo de $[0, 1]$ por debajo de la medida de Lebesgue. Si $f(t)>0$ por una cantidad no numerable de $t$, luego de algunos $n$, $f(t)>\frac 1 n$ para una infinidad de $t$, y, en particular, para $n$ valores de $t$, decir $t_1, ... t_n$. Por lo tanto, podemos definir el $A_{t_i}$ así como para la cubierta de la unidad de intervalo, y vamos a tener ya $P(\bigcup A_t)=1$. Definir todos los otros $A_t$ sin embargo, usted como que es coherente con $f$, por ejemplo,$A_t=[0, f(t)]$.