¿Cómo evaluamos esta integral general?

Question

De convolución de dos distribuciones Chi-cuadradas de tamaño, encontrar el % integral general $$\int _0^yx^{\frac m 2 -1} \cdot (y-x)^{\frac n 2 -1}dx$$

¿Hay una manera de evaluar esta arbitraria enteros $n, m$? Por supuesto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $n>m$ o $n<m$.

Answer 1

Sugerencia. Por el cambio de variable t $$ = \frac xy, \qquad dx = y \,dt,\qquad $$one consigue $$ \int _0 ^ yx ^ {\frac m 2 -1} \cdot (y-x) ^ {\frac n 2 -1} dx = y ^ {\frac m 2 + \frac n 2 -1} \int _0 ^ 1t ^ {\frac m 2 -1} \cdot (1-t) ^ {\frac n 2 -1} dt $$ entonces uno puede utilizar el resultado integral beta $$ \int _0 ^ 1t ^ {un -1} \cdot (1-t) ^ {b-1}dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b),} \quad un > 0, \, b > 0. $$

Answer 2

Sugerencia. Dejando $t=x/y$, tenemos que $$ \int _0 ^ yx ^ {\frac m 2 -1} \cdot (y-x) ^ {\frac n 2 -1} dx = y ^ {\frac m 2 + n \frac 2-1} \int _0 ^ 1t ^ {\frac m 2 -1} \cdot (1-t) ^ {\frac n 2 -1} dt = y ^ {\frac m 2 + n \frac 2-1} B\left (\frac {m} {2} , \frac{n}{2}\right)$$ $B(x,y)$ Dónde está la función Beta.