¿Por qué un círculo no es un conjunto convexo?

Question

¿Por qué un círculo no es un conjunto convexo?

Mi intento: Lo busqué en Google, pero no encontré la respuesta correcta, ya que no entendí la explicación de por qué un círculo no es un conjunto convexo como se define aquí:

Como se muestra en el diagrama 1, los puntos A y B y los puntos C y D se encuentran dentro del círculo, por lo que creo que el círculo debe ser un conjunto convexo, como se muestra claramente en la figura 1.

¿Por qué el círculo no es un conjunto convexo?

Answer 1

Se refieren sólo al borde del círculo, sin el interior. Eso no es un conjunto convexo.

Answer 2

La confusión surge de la notación. Un círculo, en la segunda parte de la frase, se define sólo como los puntos del límite, excluyendo el interior. En tu imagen puedes ver que la línea que une A y B tiene A y B en el límite, pero los otros puntos del segmento se encuentran en el interior del círculo. Por lo tanto, si definimos una circunferencia como el conjunto de puntos del límite, no es convexa.

Por otro lado, si se define un círculo como el conjunto de puntos del límite más los del interior, es un conjunto convexo.

La frase de su libro es engañosa ya que no definió lo que es un círculo, y parece que utiliza ambos indistintamente, añadiendo más confusión.

Answer 3

El círculo viene dado por la línea curva negra. Obsérvese que el interior blanco es no parte del círculo.

Consideremos ahora el punto de intersección de la recta AB con la recta CD. Este punto de intersección se encuentra claramente en la recta AB entre los puntos A y B. Los puntos A y B están en la circunferencia, por lo que si la circunferencia fuera convexa, el punto de intersección tendría que estar también en la circunferencia. Pero, obviamente, no lo está; está dentro del círculo. Por tanto, el círculo no es convexo.

En el otro lado, el interior del círculo es convexo, ya que si eliges dos puntos cualesquiera dentro del círculo, entonces el segmento de línea completo que los une también está dentro del círculo.

Answer 4

Un conjunto $A$ se llama convexa si para cada par $x,y\in A$ tiene $$ (1-t)x+ty\in A\hspace{1cm} \forall t\in[0,1]. $$ Si tienes una bola como $$ B_n=\{x\in\mathbb R^n~:~\|x\|\leq 1\} $$ se puede demostrar que es convexo. Pero la esfera $$ S^{n-1}=\{x\in\mathbb R^n~:~\|a\|=1\} $$ no es convexo. Considere algunos $x\in S^{n-1}$ y se obtiene $-x\in S^{n-1}$ pero $\left(1-\frac12\right)x+\frac12(-x)=0\notin S^{n-1}$ . Es posible que haya pensado en el disco $$B_2=\{(x,y)\in\mathbb R^2~:~x^2+y^2\leq 1\}$$ pero el círculo $$S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2~:~x^2+y^2=1\}$$ no es convexo.

Answer 5

Se trata de una confusión causada por el uso diferente del lenguaje por parte de las personas. Al hacer matemáticas, debemos ser muy precisos a la hora de asignar significados a los distintos términos, y por eso nos tomamos tantas molestias para definir de ellos. Y el objetivo de una definición es que, una vez que hayamos entendido lo que alguien quiere decir con un término, no cometeremos el error de pensar que quiere decir otra cosa.

Así es como usamos ciertas palabras inglesas comunes en la geometría ordinaria ("euclidiana"):

• A círculo es una curva cerrada en el espacio, formada por el conjunto de todos los punto s a igual distancia de un punto fijo llamado centro de el círculo.
• A disco (o disco ) es el conjunto de todos los puntos contenidos dentro de (*) un círculo, incluido su centro.

Tenga en cuenta que un disco no necesariamente ¡incluir el propio círculo! (Al estudiar topología - que es más bien como lo sería la geometría si las distancias no fueran fijas o importantes - distinguimos entre un cerrado disco, que incluye el frontera o borde exterior, y un Abrir disco, que no lo hace. Y a menudo llamamos a un disco bola - piensa en una pelota de goma blanda).

También definimos un conjunto convexo para ser uno que incluya cada punto que se encuentra en un segmento de línea uniendo dos puntos cualesquiera. Así, se puede ver que el interior (o interior ) de un disco es un conjunto convexo, ya que incluso en una pelota de goma blanda, cualquier punto que se encuentre entre otros dos del interior debe estar en el interior, por mucho que lo aplasten. Pero el exterior (o frontera ) de un disco no es un conjunto convexo, ya que hay puntos entre dos puntos cualesquiera del círculo que no también se encuentran en el límite, es decir, se encuentran dentro del círculo, en el interior del disco abierto. Por ejemplo, como se señala en la respuesta de celtschk La intersección de esas dos cuerdas AB y CD en su diagrama es un punto interior que se encuentra entre puntos del círculo.

(*) Ahora no he definido lo que quiero decir con punto , dentro de o un segmento de línea . Pero en el caso de un círculo en la geometría euclidiana, la noción ordinaria de "interior" y "exterior" funciona bastante bien; un punto es el punto más pequeño que podemos dibujar en un cuadro; y un segmento de línea es la parte de una línea recta que une dos puntos. En general, ¡no podemos definirlo todo! Incluso en matemáticas, donde intentamos ser lo más precisos posible, a veces tenemos que decir "¡Basta!" y aceptar ciertas ideas como nociones básicas e indefinibles. Solemos tomar un punto geométrico como una de esas nociones básicas.