¿Es posible probar $g^{|G|}=e$ en todos los grupos finitos sin hablar de cojunto?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, y $g$ ser un elemento de $G$. ¿Cómo se podría ir sobre demostrando $g^{|G|}=e$ sin el uso de cosets? Me gustaría admitir Lagrange del teorema si una prueba sin hablar de cosets se puede encontrar.

Tengo una prueba para abelian grupos que básicamente consiste en tomar la prueba usual de el teorema de Euler y su uso en un grupo, no sé si puede ser modificado para que funcione en arbitrario de grupos finitos.

La prueba es como sigue: la función de $G$ $G$que consiste en la asignación de $h$ $gh$es un bijection. Por lo tanto

$\prod\limits_{h\in G}h=\prod\limits_{h\in G}gh$ , pero debido a la conmutatividad $\prod\limits_{h\in G}gh=\prod\limits_{h\in G}g\prod\limits_{h\in G}h=g^{|G|}\prod\limits_{h\in G}h$.

Así que tenemos $\prod\limits_{h\in G}h=g^{|G|}\prod\limits_{h\in G}h$.

La cancelación de la propiedad de los rendimientos de $e=g^{|G|}$.

Estoy buscando un poco de apoyo en cuanto a por qué puede ser difícil de probar este resultado sin hablar de cosets, o si es posible, una prueba real sin cosets.

Muchas gracias de antemano, saludos.

Answer 1

Aquí no es rigurosa justificación de por qué no debe ser muy difícil hacer este argumento, sin el uso de cosets.

Primero de todo, la declaración es, precisamente, del teorema de Lagrange para un subgrupo $H\leq G$, bajo la suposición adicional de que $H$ es cíclico.

Una prueba de que la cardinalidad de un conjunto finito $H$ divide la cardinalidad de un conjunto finito $G$, se compone de una partición de $G$ junto con bijections entre el $H$ y cada elemento de la partición. También podríamos construir un surjection $G\to H$ y un bijection entre sus fibras, lo que equivale a la misma cosa.

Tenemos que utilizar en algún lugar de la suposición de que $H$ es un subgrupo de $G$, es decir, que la estructura de grupo en la $G$ es compatible con la estructura de grupo en la $H$. Así que en algún punto, se debe construir un bijection entre el $H$ y otro subconjunto de $G$ con el grupo de operación $G$.

Hay dos maneras de hacer esto: la multiplicación y la conjugación. Pero la conjugación es trivial en abelian grupos! Nos queda considerar el conjunto de $gH$ (o $Hg$), y tenemos la coset argumento.

Podríamos intentar capitalizar el hecho de que $H$ es cíclica, es decir, mediante la adopción de un generador de $h\in H$ y mirando a la permutación $g\mapsto hg$. Pero las órbitas de esta permutación son exactamente el derecho cosets de $H$, por lo que este se convierte en el mismo argumento.

Answer 2

Consejos.

Primero observar que el conjunto $$ H = \ {g, g ^ 2, \ldots, g ^ n, \ldots\} $ es finito.

Si $\lvert H\rvert=n$, entonces el $g^n=e$.

Por último, divide a $\lvert H\rvert$ $\lvert G\rvert$.

Answer 3

Permítanme tomar un tiro-

Deje $o(g)=n$ para algunos arbitraria $g \in G$, $g^n=e$ (e $n$ es menos entero positivo), ahora bien, si supongamos $g^{|G|}\neq e$, entonces no existe no existe $t \in \mathbb{Z}$ que también es mayor que $1$ tal que $g^{|G|t} = e$, pero luego por el algoritmo de la división $\exists \ $ $q,r \in \mathbb{Z}$ tal que $|G|t=nq+r$ y $0\leq r <n \implies g^{nq+r}=g^r=e$ $\implies$ $r=0$ $\implies$ $|G| = \frac{nq}{t} \implies g^{|G|}=g^{n(q/t)} \neq e $ (por hipótesis) sino $g^n=e$.

Ahora la pregunta es ¿por qué $t$ brecha $q$, pero yo diría como (evitando orden de elemento divide a fin de $G$, que es la pregunta en sí mismo) que se debe dividir, como una vez $g^n=e$, luego elevar $e$ a la potencia $\frac{q}{t}$ no tiene sentido si $t$ no divide $q$.