Que $R$ ser un anillo (posiblemente sin el elemento unidad) y que $I(R)$ el conjunto de todos idempotents del anillo $R$, es decir, $I(R)=\{a\in R \; : a^2=a\}$. ¿Por otra parte, supongamos que: $$\forall_{e,f\in I(R)}\; ef=0\iff fe=0.$ $ es el conjunto $I(R)$ cerrado bajo la multiplicación? ¿Entonces, es que el producto $ef$ de dos idempotents arbitrarias es un idempotente otra vez ($(ef)^2=ef$)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rschwieb
Puntos
60669
Hay una prueba de si el anillo tiene identidad. Actualmente estoy trabajando para ver si el argumento puede ser adaptado o no a los anillos sin identidad. (Gracias por su paciencia.)
Se puede comprobar que $e+ef-efe$ es otro idempotente.
Ahora (si $R$ tiene identidad) $1-e$ aniquila esta a la izquierda, y así se aniquila en la derecha también. Que los rendimientos de $ef(1-e)=0$, por lo que el $ef=efe$. A continuación,$efef=eff=ef$.
Trabajo en el resto de problema
Tenía la esperanza de que la unión sólo puede trabajar, donde la idempotents de la Dorroh extensión de $\mathbb Z\times R$ son las cosas de la forma $(0,e)$ $(1, -e)$ por cada idempotente $e\in R$. El problema es que la condición simétrica aniquilación parece difícil de cumplir para los productos como $(0,e)(1,-f)=(0, e-ef)$. Esto equivaldría a mostrar que la $e-ef=0$ implica $e-fe=0$.
En el camino de contraejemplos, tenía la esperanza de un semigroup anillo sobre el semigroup $\{a,b\}$ $a^2=a=ab$ $b^2=b=ba$ daría un contraejemplo. No contraejemplo surgió después de probar un par de pequeños coeficiente de anillos, sin embargo.
