No me han solucionado este límite:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}$
usando la expansión de la regla y la serie de L'Hopital. ¿Tienes otro método para resolverlo?
Respuestas
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Roger Hoover
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56
Podemos encontrar el límite: %#% $ #% mediante la explotación de la convexidad de la función exponencial, para lo cual: %#% $ $$\lim_{n\to +\infty} n\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$ #% y $$x<y\quad\Longrightarrow\quad e^x<\frac{e^y-e^x}{y-x}<e^y.$ (sabemos que $y=1$ por la desigualdad de Bernoulli) tenemos: $x=n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ $ por lo tanto, sólo tenemos que encontrar el límite: %#% $ #% que se desprende: $y>x$ $ a demostrar que el límite original es igual a $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n <\frac{e-\left(1+1/n\right)^n}{1-n\log(1+1/n)}<e$.
eugene y
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705
Que $f(x)=(x+1)^{1/x}$. Queremos calcular $\lim_{x\to 0}\frac{e-f(x)}{x}$. Primero, $$ \begin{align*} \lim_{x\to 0}\ln f(x) &= \lim_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)}{x}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)-\ln 1}{x}\\ &= [\ln(x)]'(1)\\ &= 1. \end{align*} $$ por lo tanto $\lim_{x\to 0}f(x)=e$. Por lo tanto $$ \begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-e}{x}&= \lim_{y\to 0}f'(y)\\ &= \lim_{y\to 0} f(y)[\ln f]'(y)\\ &= e\lim_{y\to 0} \left(\frac{\ln(x+1)}{x}\right)'(y)\\ &= e\lim_{y\to 0} \frac{\frac{y}{y+1}-\ln(y+1)}{y^2}\\ \mbox{L'Hospital}&= e\lim_{y\to 0} \frac{\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{y+1}}{2y}\\ &= e\lim_{y\to 0} \frac{-y}{2y(y+1)^2}\\ &= \frac{-e}{2}. \end{align*} $$ por lo tanto hemos demostrado que $\lim_{x\to 0}\frac{e-f(x)}{x}=\frac{e}{2}$ como se desee.
eugene y
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705
Un enfoque alternativo: recordar por serie de Taylor que $\ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$. Por lo tanto $$\begin{align*} (x+1)^{1/x}&= \exp\left[\frac{\ln(x+1)}{x}\right]\\ &= \exp\left[1-\frac{x}{2}+o(x^2)\right]\\ &= e\exp \left[-\frac{x}{2}+o(x^2)\right]. \end{align*} $$ así que calcular $$ \begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{e-(x+1)^{1/x}}{x}&= e\lim_{x\to 0}\frac{1-\exp \left[-\frac{x}{2}+o(x^2)\right]}{x}\\ &= -e\left(\exp \left[-\frac{x}{2}+o(x^2)\right]\right)'_{x=0}\\ &= -e\left(-\frac{x}{2}+o(x^2)\right)'_{x=0}\left(\exp \left[-\frac{x}{2}+o(x^2)\right]\right)_{x=0}\\ &=\frac{e}{2}. \end{align*} $$
Dudo que uno puede tener una solución simple a este problema sin usar regla o serie infinita de L'Hopital. Aquí es una prueba basada en la definición de $\log x$ un $$\log x = \int_{1}^{x}\frac{dt}{t}$$ First we simplify the given limit $$\begin{aligned}L\,&= \lim_{x \to 0}\frac{e - (1 + x)^{1/x}}{x}\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\exp(1) - \exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x}\right)}{x}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{e - e^{t}}{x}\text{ (putting }t = \frac{\log(1 + x)}{x}\text{ for now)}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{e^{t}(e^{1 - t} - 1)}{x}\\ &= \lim_{x \to 0}e^{t}\cdot\frac{e^{1 - t} - 1}{1 - t}\cdot\frac{1 - t}{x}\\ &= \lim_{t \to 1}e^{t}\cdot\lim_{t \to 1}\frac{e^{1 - t} - 1}{1 - t}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{1 - t}{x}\\ &= e\cdot 1\cdot\lim_{x \to 0}\frac{x - \log(1 + x)}{x^{2}}\\ &= eA\end{aligned}$$ where $$A = \lim_{x \to 0}\frac{x - \log(1 + x)}{x^{2}}$$ Now to evaluate limit $A$ we need to use certain inequalities related to $\log integral (1 + x) $. First let $x > 0$. then we know that $$\log(1 + x) = \int_{1}^{1 + x}\frac{dt}{t} = \int_{0}^{x}\frac{dt}{1 + t}$$ Now if $0 < t < x $ we can see that $1 - t ^ {2} 1 < < 1 + t ^ {3} $ and on dividing this by $(1 + t) > 0$ we get $$1 - t < \frac{1}{1 + t} < 1 - t + t^{2}$$ Integrating this in interval $ [0, x] $ we get $$x - \frac{x^{2}}{2} < \log(1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$$ and therefore $$\frac{1}{2} - \frac{x}{3} < \frac{x - \log(1 + x)}{x^{2}} < \frac{1}{2}$$ Letting $x \to 0 ^ {+} $ and using squeeze theorem we get $$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{x - \log(1 + x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$$ We can similarly show (using another set of inequalities) that $$\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x - \log(1 + x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$$ It now follows that $A = 1/2$ and the limit $L = $ e/2.
