Ecuación diferencial homogénea - no puede manipular la ecuación

Question

se trata de un problema de un libro de texto:

Si $x>0$, $y>0$, encontrar la solución general de la ecuación diferencial, $$ x \frac{dy}{dx} = y + \frac{x}{\ln y - \ln x }$$ dar la respuesta en la forma $ye^{y/x}=f(x)$

Me acerqué con la sustitución de $y=vx$ ya que esta es una ecuación homogénea. Dar,

$$ x\frac{dv}{dx}+v = v+ \frac{1}{\ln v}$$

Separando las variables de rendimiento,

$$ v \ln v -v = \ln x + C $$

El por tomar el poder de la $e$ $$e^{v \ln v - v } = xA$$

donde $e^C= A$. Esto es equivalente a

$$e^{-v}v^{v} = Ax$$

Ahora, cuando me sustituir el valor de $v= \frac{y}{x}$ espalda, no puedo obtener la ecuación de la forma $ye^{y/x} = f(x)$.

Tal vez he cometido un error en mis cálculos. Puede alguien explicar de dónde? O cómo resolver el problema? Muchas gracias!!

Answer 1

Aquí mi solución ( tal vez alguien puede encontrar algo más simple).

Mediante la sustitución de $\log y-\log x=t \iff y=xe^t$ la ecuación diferencial se convierte en: $$ te^t\,dt=\dfrac{dx}{x} $$ con la solución: $$ e^t(t-1)=\log x +c $$ dividir por $e$: $$ (t-1)e^{t-1}=\dfrac{\log x+c}{e} $$ y el uso de la función W de Lambert nos encontramos con: $$ t-1=W\left(\dfrac{\log x+c}{e}\right) $$ así que tenemos (ver aquí) $$ e^t=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\log x +c}{W} {\left(\dfrac{\log x+c}{e}\right)}=e\dfrac{\dfrac{\log x +c}{e}}{W} {\left(\dfrac{\log x+c}{e}\right)}= $$ $$ =ee^{W\left(\dfrac{\log x+c}{e}\right)}=F(x) $$ y $y=xF(x)$ es la solución de la ecuación diferencial.

Si queremos que el formulario solicitado en el OP que podemos hacer: $$ ye^{\frac{y}{x}}=xF(x)e^{F(x)} $$

Answer 2

Consejo: tenemos $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{1}{\ln\left(\frac{y}{x}\right)}$ $y=ux$ obtenemos $$u'x+u=u+\frac{1}{\ln(u)}$$ therefore we get $% $ $\ln(u)du=\frac{dx}{x}$