¿Por eso, conceptualmente, limaçons $r=a+b\cos\theta$ tiene hoyuelos cuando $|\frac{a}{b}|<2$?

Question

Utilizando el cálculo, que puede justificar que limaçons-la polar gráficos de $r=a+b\cos\theta$ por diversos distinto de cero real de los valores de $a$ $b$- se hoyuelos al $|\frac{a}{b}|<2$, pero eso no parece producir ningún conceptual razón por la que debería ser el caso. El valor de límite 2 parece demasiado bueno para no tener una explicación conceptual, por lo que hay?

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El cálculo: Para este tipo de limaçon, con el coseno, siempre hay verticales tangentes a la gráfica de en $\theta=k\pi$, y el hoyuelo se caracteriza por un par de verticales tangentes cerca de uno de esos dos lugares, pero igualmente espaciados, antes y después de ella, mientras que un no-hoyuelos limaçon solo tiene esas dos verticales tangentes. Verticales tangentes ocurrir cuando $\frac{dy}{dx}$ es indefinido; para polares, lo que significa que cuando $\frac{dy}{d\theta}$ es indefinido (para nuestro limaçon, nunca) o al $\frac{dx}{d\theta}=0$. Para nuestro limaçon, $\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta(a+2b\cos\theta)$, lo $\frac{dx}{d\theta}=0$ implica $\sin\theta=0$ ($\theta=k\pi$) o $a+2b\cos\theta=0$. En este último caso, que puede ser reescrita como $\cos\theta=-\frac{a}{2b}$, no tiene soluciones al $|\frac{a}{2b}|>1$, una única solución que ya está en las soluciones de $\sin\theta=0$ al $|\frac{a}{2b}|=1$ (por lo tanto, no hay más verticales tangentes y por tanto, no hoyuelo al $|\frac{a}{b}|\ge 2$), y dos soluciones al $|\frac{a}{2b}|<1$ (para dos tangentes verticales adicionales y, por tanto, un hoyuelo al $|\frac{a}{b}|<2$).

Answer 1

Aquí es una forma geométrica de mirarlo. Para los efectos de esta respuesta, voy a ser reparametrizing la limaçon como

$$r=2a(1-h\cos\,\theta)$$

(Creo $h$ aquí para ser positivo; los valores negativos de $h$ corresponden a una congruentes curva refleja sobre el eje vertical). He elegido esta forma, ya que esto permite un conveniente la redacción de una de las definiciones de un limaçon:

El limaçon es el lugar geométrico de un punto conectado a un círculo de radio $a$ rodando alrededor de la parte exterior de un determinado círculo de radio $a$, con el seguimiento de punto a una distancia $ah$ desde el centro de la rodadura.

En otras palabras, la limaçon es un caso especial de la epitrochoid.

Su frontera caso corresponde a $h=\frac12$. Interpretada a partir de la epitrochoid punto de vista, esto significa que el seguimiento de punto a mitad de camino entre la circunferencia y el centro de la rodadura:

Para $0 < h < \frac12$, el seguimiento de punto está cerca del centro de la rodadura, y por lo tanto la limaçon se puede esperar a ser convexo (con la extrema $h=0$ caso dando el círculo cuyo radio es el doble de la original). Para $h > \frac12$, el seguimiento de punto "sobresale" un poco, y por ello vamos a ver los hoyuelos en la limaçon:

Para la cardioide caso de ( $h=1$ ), en particular, la cúspide corresponde al lugar en el seguimiento de punto coincide con el punto de contacto de los fijos y rodantes círculos:

mientras que para $h > 1$, la auto-punto de intersección es de esperar debido a la localización del punto que sobresale de la rodadura.

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Como se ha visto en este libro, no es más que una manera de definir la limaçon geométricamente, y supongo que esas otras definiciones también arrojar luz sobre las diferencias entre los hoyuelos y undimpled limaçons. Creo que el tratamiento de la limaçon como un epitrochoid es el más fácil de entender, sin embargo.

Answer 2

Algo relacionado con Robert y de Rahul respuestas: podría ser más ilustrativo considerar la curvatura de la limaçon. Sin pérdida de generalidad, podemos considerar el caso $b=1$ positiva y $a$ (el resto de los casos están relacionados por escala y reflexión sobre el eje horizontal). La curvatura de la función es

$$\frac{a^2+3a\cos\,\theta+2}{\sqrt{(a^2+2a\cos\,\theta+1)^3}}$$

Para $a=2$ (el límite), de una parcela de la curvatura de la función muestra que su único cero en $\theta=\pi$, y ese punto es un punto de tangencia:

(Recuerde que un punto de curvatura cero corresponde a la curva que ser "localmente recta").

Para $a > 2$ o de $a < 1$, la curvatura de la función es totalmente positiva (no "secciones rectas"). La cardioide caso, $a=1$, produce una curvatura de la función que es singular en $\theta=\pi$ (correspondiente a la cúspide). Finalmente, para el caso de $1 < a < 2$, la curvatura es cero en los puntos de $\theta=\arccos\dfrac{-a^2-2}{3a}$$\theta=2\pi-\arccos\dfrac{-a^2-2}{3a}$, que corresponde exactamente al caso en que uno comienza a ver los hoyuelos...

Un similar análisis puede ser visto en Gibson Elementales de la Geometría Diferencial de Curvas: Un título de Introducción.

Answer 3

Poner en un contexto más amplio: el % de curva paramétrica plana ${\bf p}= {\bf p(t)}$con velocidad vector #% aceleración y ${\bf v}$ #% es "giro a la izquierda" si ${\bf a}$ y "girando a la derecha" si $v_1 a_2 - v_2 a_1 > 0$. Para una curva polar, tomando $v_1 a_2 - v_2 a_1 < 0$, $t = \theta$, ${\bf p}(t) = r(t) [\cos(t), \sin(t)]$ $ % en el caso de su limaçons, $$v_1 a_2 - v_2 a_1 = r(t)^2 + 2 r'(t)^2 - r(t) r''(t)$, esto resulta para ser $r(t) = a + b \cos(t)$. El mínimo, cuando $2 b^2+3 a b \cos(t)+a^2$ (depende de la señal de $\cos(t) = \pm 1$) es $ab$. Para que esto sea negativo, produciendo su "hoyuelo", necesitamos $2 b^2 - 3 |a b| + a^2 = (|a|-|b|)(|a| - 2 |b|)$.

Answer 4

Ya se da una respuesta en el libro "por qué tenemos ciertos limacons un hoyuelo, enseñanza de la matemática y sus aplicaciones Advance Access publicado 29 de marzo de 2006".

Answer 5

El invariante de la descripción de lo que busca es que en una familia de curvas suaves, la aparición y desaparición de un "hoyuelo" sucede en las curvas donde la tangente a la línea de contacto de orden 4 con (al menos un punto de una rama de) la curva.

Este es un relativamente alto orden de locales de cálculo y podría no ser susceptibles de un geométrica simple argumento acerca de las sucesivas círculos. La aceleración y la curvatura de los cálculos son equivalentes (porque las dos cantidades son proporcionales entre otros), y mostrar el contacto de la orden de al menos 3. La reflexión de la simetría de las curvas de potencia esta a la orden 4; incluso analítica de la función de fuga a$O(t^3)$$O(t^4)$. O uno de los cheques de los signos de la curvatura cerca del punto crítico de demostrar que es un mínimo. En todos estos enfoques algunas álgebra es necesario para obtener la respuesta.