Yo estaba interesado en la estimación de la suma de la forma $ \sum_{j=1}^{N} \ {\sqrt{j} \}. $$ me preguntaba si hay una referencia o tal vez alguien me podria ayudar averiguar qué hacer. ¡Gracias! $\{ \alpha\}$ denota la parte fraccionaria del número real $\alpha$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La suma deseada es igual a $$\left(\sum_{j=1}^N \sqrt{j}\right) - \left(\sum_{j=1}^N \lfloor \sqrt{j}\rfloor\right)$ $
La segunda suma se computa aquí como $(N+1)a - \frac{a^3}{3} - \frac{a^2}{2} - \frac{a}{6}$, donde $a=\lfloor \sqrt{N+1}\rfloor$.
Puede estimarse el primer sumatorio por una integral como sigue $$\frac{2}{3}N^{3/2}=\int_0^N\sqrt{x}dx < \left(\sum_{j=1}^N \sqrt{j}\right) < \int_1^{N+1} \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}((N+1)^{3/2}-1)$ $
La diferencia entre las estimaciones superiores e inferiores es $O(\sqrt{N})$, que no es demasiado malo que creo. Con cuidado las integrales pueden ser refinadas, que afilando las estimaciones.
