Demostrar que una expresión es divisible por un polinomio

Question

Pregunta: demostrar que el polinomio $f(x)=(x+1)^{2n} +(x+2)^n - 1$ es divisible por $g(x) = x^2+3x+2$, donde $n$ es un entero.

He intentado usar inducción matemática. El caso base no era tan difícil, pero cuando se trata del paso inductivo sí, tengo un poco confundido.

¿Es posible demostrarlo por inducción matemática, y es binominal expansión necesaria en ese paso?

Answer 1

Poniendo los ceros de $x^2+3x+2=0$ %, es decir, $-1,-2$uno por uno, en $f(x)=(x+1)^{2n}+(x+2)^n-1$

conseguimos, $f(-1)=(-1+1)^{2n}+(-1+2)^n-1=0$

y $f(-2)=(-2+1)^{2n}+(-2+2)^n-1=0$

(i) Por lo tanto, aplicando el Teorema del resto,

$(x+1)\mid f(x)$ y $(x+2)\mid f(x)\implies lcm(x+1,x+2)\mid f(x)$

(ii) por otra parte,

$\frac{(x+1)^{2n}+(x+2)^n-1}{x+1}=(x+1)^{2n-1}+\frac{(x+2)^n-1}{x+1}$

Ahora $x+1(=x+2-1)\mid \{(x+2)^{2n-1}-1\} $ $(a-b)\mid (a^n-b^n)--->(1)$

Así, $(x+1)\mid f(x).$

$\frac{(x+1)^{2n}+(x+2)^n-1}{x+2}=\frac{\{(x+1)^2\}^n-1}{x+2}+(x+2)^{n-1}$

Utilizando $(1),\{(x+1)^2\}^n-1$ es divisible por $(x+1)^2-1=x^2+2x=x(x+2)$

Así, $(x+2)\mid f(x).$

$lcm(x+1,x+2)=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ (comprobarlo)

Answer 2

% Toque $\rm\: mod\ g\!:\,\ e_i^2\! = e_i\Rightarrow\: e_1^n + e_2^n =\, e_1\! + e_2.\ $Google idempotents (ortogonales) para aprender más.

Answer 3

ADVERTENCIA: prueba de no inducción $z = x+1$% Y uso $z$en lugar de $x$ pero todo lo demás es lo mismo. Así que vamos a definir $$f_n(z)=z^{2n} + (z+1)^n - 1.$$ Obviously $z | f_n (z) $ and $z $ is coprime to $z + 1 $ so we just need to show that $z + 1 | f_n (z) $ but that is equivalent to $-1$ siendo una raíz del polinomio, que verificar es de evaluación.

Answer 4

No tengo una respuesta para usted, porque yo no ejercicio de estas cosas durante mucho tiempo, pero encontré una referencia que pueda ayudar a usted.

Por favor trate de : http://www.enotes.com/math/q-and-a/determine-m-polynomial-p-divisible-by-x-3-p-x-3-mx-188671/

Utilizando el teorema del resto "http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem"

Espero Que ayude un poco,

Chico