Haar Medida de Topológico, Anillo

Question

Un topológico anillo es un (no necesariamente unital) anillo de $(R,+,\cdot)$ equipada con una topología $\mathcal{T}$ de manera tal que, con respecto a $\mathcal{T}$ ambos $(R,+)$ es un grupo topológico y $\cdot:R\times R\to R$ es un mapa continuo. Una izquierda Haar medida en $R$ es un (no negativo) de medida $\lambda$ $R$ con respecto a la Borel $\sigma$-álgebra de $R$ que hay un multiplicativo mapa de $l:R\to[0,\infty]$ llamada a la izquierda del multiplicador para que

1. $l(x\cdot y)=l(x)\,l(y)$ todos los $x,y\in R$,
2. $\lambda(x\cdot S)=l(x)\,\lambda(S)$ todos los $x\in R$ y para cualquier Borel medible subconjunto $S\subseteq R$ (con respecto al $\mathcal{T}$), y
3. $\lambda$ es una medida de Haar para el grupo topológico $(R,+)$.

(Interpretamos $0\cdot \infty$$\infty\cdot 0$$0$.)

Un ejemplo es el anillo de $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$ $n$a$n$ matrices de más de $\mathbb{R}$ bajo la topología heredada de $\mathbb{R}^{n\times n}\cong\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Si $\textbf{A}=\left[a_{i,j}\right]_{i,j=1,2,\ldots,n}$, entonces tomamos $\text{d}\lambda(\textbf{A})$ $\prod_{i=1}^n\,\prod_{j=1}^n\,\text{d}a_{i,j}$ (es decir, $\lambda$ es la medida de Lebesgue de $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^{n\times n}$). A continuación, $\lambda$ es una izquierda Haar medida de $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$ con respecto a la izquierda del multiplicador $l(\textbf{X}):=\big|\det(\textbf{X})\big|^n$ todos los $\textbf{X}\in\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$.

Otro ejemplo es $(\mathbb{C},+,\cdot)$. Tomamos $\lambda$ a ser tal que $\text{d}\lambda(z):=\text{d}x\,\text{d}y$$z=x+\text{i}y$. A continuación, a la izquierda del multiplicador es $l(w):=|w|^2$ por cada $w\in\mathbb{C}$. (Creo que el $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C})$ ha dejado medida de Haar $\lambda$ con respecto al $l(\textbf{X}):=\big|\det(\textbf{X})\big|^{2n}$ todos los $\textbf{X}\in\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C})$, es decir, $\text{d}\lambda(\textbf{A}):=\prod_{i=1}^n\,\prod_{j=1}^n\,\left(\text{d}x_{i,j}\,\text{d}y_{i,j}\right)$$\textbf{A}=\left[x_{i,j}+\text{i}y_{i,j}\right]_{i,j=1,2,\ldots,n}$, pero no lo he probado para trabajar en los detalles.)

El tercer ejemplo es $\mathbb{R}[T]/\left(T^n\,\mathbb{R}[T]\right)$ equipado con la topología heredada de $\mathbb{R}^n$. Para $f(T)=\left(a_0+a_1T+\ldots+a_{n-1}T^{n-1}\right)+\left(T^n\,\mathbb{R}[T]\right)$, tomamos $\text{d}\lambda(f):=\prod_{i=0}^{n-1}\,\text{d}a_i$. A continuación, a la izquierda del multiplicador es$l(g):=\left|b_0\right|^n$$g(T)=\left(b_0+b_1T+\ldots+b_{n-1}T^{n-1}\right)+\left(T^n\,\mathbb{R}[T]\right)$.

Tenga en cuenta que también podemos igualmente definir la noción de derecho Haar medidas para los anillos y su correspondiente derecho de los multiplicadores (que son los que normalmente se denota por a $r$ en este hilo). Si el anillo tiene tanto de izquierda como de derecha Haar medidas, entonces (debido a la conmutatividad de la adición) los dos Haar medidas coinciden (hasta escalar varios) y podemos omitir los adjetivos a la izquierda y a la derecha, y simplemente llamar Haar medidas. (Los adjetivos de "izquierda" y "derecha" sólo indican el tipo de multiplicadores de que el anillo.) Un anillo con una medida de Haar es unimodular si la izquierda del multiplicador coincide con el derecho multiplicador; de lo contrario, llamamos el anillo no unimodular.

Entonces, $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$, $\mathbb{C}$ (posiblemente así como $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C})$), $\mathbb{R}[T]/\left(T^n\right)$ (posiblemente así como a $\mathbb{C}[T]/\left(T^n\right)$), el anillo de $\mathbb{Z}_{p}$ $p$- ádico enteros (ver Crostul comentario de abajo), y el anillo de poder formal de la serie de $\mathbb{F}_p[\![ T]\!]$ (ver Jyrki Lahtonen comentario de abajo) son ejemplos de unimodular de los anillos. Por supuesto, muchos de estos anillos son anillos conmutativos, y anillos conmutativos con Haar medidas son necesariamente unimodular.

Un ejemplo de no-unimodular de los anillos es como sigue. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ con la habitual entrada sabio adición, pero con el trenzado de la multiplicación $(u,v)\cdot(x,y):=(ux,uy+v)$. Luego, con la medida de Haar $\text{d}\lambda(a,b):=\text{d}a\,\text{d}b$, nos damos cuenta de que a la izquierda del multiplicador de $\mathbb{R}^2$ $l(u,v):=|u|^2$ por cada $u,v\in\mathbb{R}$, mientras que un derecho multiplicador es $r(u,v):=|u|$ por cada $u,v\in\mathbb{R}$. (Espero que el anillo de $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})\times\mathbb{R}^n$, así como el $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C})\times\mathbb{C}^n$, con la habitual entrada-sabio, además y con el trenzado de la multiplicación $(\mathbf{A},\mathbf{u})\cdot(\mathbf{B},\mathbf{v}):=(\mathbf{AB},\mathbf{Av}+\mathbf{u})$, también es unimodular por la misma razón.)

Ha habido algún estudio sobre este tipo de conceptos? Estoy seguro de que no soy la primera que pensaban acerca de la noción de Haar medidas para los anillos. Para una característica fija $k>0$, hay un topológico anillo de la característica $k$ equipada con una medida de Haar? ¿Hay algún criterio para que un anillo de ser unimodular? Hay anillos con la izquierda Haar medidas, pero sin derecho Haar medidas? (A diferencia de los grupos, en la que espera encontrar anillos con sólo un tipo de Haar medidas.) Por favor, hágamelo saber si usted tiene o sabe de alguna referencia. Por otro lado, puede haber alguna patología con este concepto de Haar medidas para anillos, y a causa de eso, nadie se introduce este concepto. Si ese es el caso, por favor hágamelo saber por qué?

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EDITE yo: he quitado un mal ejemplo de la pregunta. Resulta que, con respecto a la topología discreta, $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ no tiene una medida de Haar.

EDIT II: creo que yo podría necesitar otra de compatibilidad de la condición, como se indica en menag la respuesta a continuación. Es decir, que se puede necesitar para hacer cumplir la siguiente condición: para cualquier Borel medible subconjunto $S\subseteq R$, y para cada $x\in R$, $x\cdot S$ también es Borel medible. Alternativamente, puede que necesite modificar la Condición 2 a $\lambda(x\cdot S)=l(x)\,\lambda(S)$ por cada Borel medible subconjunto $S\subseteq R$ cualquier $x\in R$ tal que $x\cdot S$ es Borel medible. Estoy a favor de la primera de modificación.

EDICIÓN III: puedo estar equivocado acerca de esta afirmación: "Un grupo abelian tiene más de una medida de Haar (hasta escalar varios)." Sin localmente compacto Hausdorff supuesto, puede haber un grupo abelian con dos esencialmente diferentes Haar medidas. Si el subyacente grupo aditivo de un anillo es isomorfo a un grupo abelian, entonces el anillo puede tener una izquierda Haar medida y un derecho Haar medida que no son proporcionales. Tal vez alguien que sabe más acerca de los grupos topológicos me puede dar un poco de perspicacia.

Answer 1

Aquí es una respuesta a la pregunta acerca de los anillos de la característica $k>0$ con Haar medidas. Deje $R_1,R_2,\ldots,R_m$ ser topológico anillos con Haar medidas de $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ correspondiente a la izquierda multiplicadores $l_1,l_2,\ldots,l_m$. Definir $R:=\bigoplus_{i=1}^m\,R_i$, $\lambda:=\bigotimes_{i=1}^m\,\lambda_i$, y $l:=\prod_{i=1}^m\,\left(l_i\circ \pi_i\right)$ donde $\pi_i:R\to R_i$ es la proyección canónica. A continuación, en el producto de la topología, $R$ es topológico, anillo con medida de Haar $\lambda$ con respecto a la izquierda del multiplicador $l$. Por lo tanto, si $k_i:=\text{char}\left(R_i\right)$, entonces la característica de $R$$\text{lcm}\left(k_1,k_2,\ldots,k_m\right)$. En particular, sabemos que existe un anillo de una determinada característica principal que posee una medida de Haar, por lo que hay un anillo de una característica $k$ que tiene una medida de Haar, donde $k$ es una plaza libre entero positivo. Por lo tanto, es a la izquierda para encontrar un anillo de carácter $p^j$ $p$ siendo el primer y $j>1$ que posee una medida de Haar.

Ahora, vamos a $R:=\Big(\mathbb{Z}\big/\left(p^j\,\mathbb{Z}\right)\Big)[\![T]\!]$. Cada una de las $f(T)\in R$ puede ser escrito como $p\,f_0(T)+f_1(T)$ donde $f_0(T),f_1(T)\in R$ y el distinto de cero los coeficientes de $T^i$ $f_1(T)$ no son divisibles por $p$. Deje $\lambda$ ser la medida de Haar del grupo $(R,+)$, que es compacto y por lo que podemos asumir $\lambda(R)=1$. Deje $l(f):=l\left(f_1\right)$ para todos los $f(T)\in R$, $l(f):=1$ si $f(T)$ es un elemento invertible de $R$, $l(0):=0$, y $l(T):=\frac{1}{p^j}$. Ampliar la definición de $l$ a $R$ el uso de la multiplicativity condición. A continuación, $R$ como anillo tiene una medida de Haar $\lambda$ con respecto a la izquierda del multiplicador $l$ (que es también un derecho multiplicador). Ergo, existe una topológico anillo de la característica $p^j$, con una medida de Haar.

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Una nota más: resulta que los anillos con Haar medidas deben ser incontables. Para, si $R$ es un contable, distinto de cero anillo, a continuación, $\left\{0_R\right\}$ debe ser de cero a medida, de modo que $R=\bigcup_{r\in R}\,\big(r+\left\{0_R\right\}\big)$ tiene medida cero, pero esto contradice la positividad de Haar medidas del grupo de $(R,+)$. Por lo tanto, la única contables anillo con una medida de Haar es el cero del anillo de $\{0\}$, que es el único anillo de la característica $1$, con el conteo de la medida y de la izquierda (así como el derecho) multiplicador $l(0):=1$.

Aquí hay otro ejemplo trivial. Un anillo trivial (es decir, un anillo con trivial multiplicación) es un anillo con la medida de Haar. Para un incontable trivial anillo de $R$ y una medida de Haar $\lambda$ de la $(R,+)$, podemos definir a la izquierda y a la derecha multiplicadores, respectivamente, como se $l(x):=0$ $r(x):=0$ todos los $x\in R$.

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En virtud de la costumbre de la topología de la cuádrupla sesgo de campo $\mathbb{H}\cong\mathbb{R}^4$, $\mathbb{H}$ equipado con la medida de Lebesgue es un unimodular anillo con una medida de Haar. A su izquierda y a la derecha multiplicadores coinciden y están dadas por $x\mapsto |x|^4$ todos los $x\in\mathbb{H}$. Ahora, yo especulo que $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{H})$ $\mathbb{H}[T]/\left(T^n\right)$ también son unimodular anillos, mientras $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{H})\times\mathbb{H}^n$ no es unimodular.

Un simétrica subconjunto $S$ de un anillo de $R$ es un subconjunto $S$ $R$ tal que $x\cdot S=S\cdot x$ todos los $x\in R$. Si existe un Borel medible simétrica subconjunto $S$ de un anillo de $R$, con una medida de Haar $\lambda$ tal que $0<\lambda(S)<\infty$, $R$ es unimodular. Para $l(x)\,\lambda(S)=\lambda(x\cdot S)=\lambda(S\cdot x)=\lambda(S)\,r(x)$ todos los $x\in R$ (donde $l$ es la izquierda y el multiplicador $r$ es el derecho multiplicador). Tenga en cuenta que $\mathbb{H}$ es un ejemplo de un no conmutativa anillo de $R$, con una medida de Haar con un subconjunto $S$ (tomando $S$ a ser el abrir de una unidad de $4$-disc $\big\{x\in\mathbb{H}\,\big|\,|x|<1\big\}$).

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Algunos de los beneficios de tener la noción de Haar medidas para los anillos son como sigue. En primer lugar, tenemos, dependiendo de si el anillo de $R$ tiene a la derecha o izquierda Haar medida, las igualdades $$l(t)\,\left(\int_S\,f(t\cdot x)\,\text{d}\lambda(x)\right)=\int_{t\cdot S}\,f(x)\,\text{d}\lambda(x)$$ and $$\left(\int_S\,f(x\cdot t)\,\text{d}\lambda(x)\right)\,r(t)=\int_{ S\cdot t}\,f(x)\,\text{d}\lambda(x)\,,$$ for $t\in R$, for a Borel measurable $S\subseteq R$, and for a measurable function $f:R\to\mathbb{C}$. Secondly, we may have a way to define the derivative of some function $f:R\to\mathbb{C}$, provided that $R$ is a unital ring, using the formula $$\left(\text{D}_l\,f\right)(x):=\lim_{t\to 1_R}\,\frac{f(t\cdot x)-f(x)}{l(t)-1}$$ o $$\left(\text{D}_r\,f\right)(x):=\lim_{t\to 1_R}\,\frac{f(x\cdot t)-f(x)}{r(t)-1}\,,$$ dependiendo de si el anillo tiene una izquierda multiplicador o de un derecho multiplicador. (Tenga en cuenta que, en los casos en donde el anillo no es unimodular, podemos tener dos tipos de derivados: a la izquierda de los derivados y el derecho de los derivados.) Estos derivados no son los derivados en el sentido usual de la palabra. Por ejemplo, para el anillo $\mathbb{R}$, $\left(\text{D}_l\,f\right)(x)=x\,f'(x)=\left(\text{D}_r\,f\right)(x)$. (Este concepto de derivada puede ser totalmente inútil como, en la mayoría de los casos, yo esperaría que el límite no existe, o de lo contrario, se necesita algún tipo de colector de estructuras en $R$, pero entonces no es ya un concepto de los derivados en los colectores.)

Answer 2

Quiero dar un poco de discusión: Deje $R$ ser un topológico anillo, y yo supongo que el subyacente grupo localmente compacto con Haar-medida $\lambda$. Para $x \in R$ establecer $\mu(A):=\lambda(xA)$ y observar $$\mu(y + A) = \lambda(x(y + A)) = \lambda(xy + xA) = \lambda(xA) = \mu(A),$$ donde hemos supuesto que todos los que ocurren conjunto es medible (tal vez alguien sabe de un corto de prueba o algunas condiciones suficientes? No sé si es posible). Por lo que el mapa de $\mu$ es la traducción invariante.

Esto no es suficiente para ser una medida. Deje $\bigcup_n A_n = A$ ser un discontinuo de la unión. Obtenemos $$\mu(A) = \mu(\bigcup_n A_n) = \lambda(x \bigcup_n A_n) = \lambda(\bigcup_n xA_n) \overset{?}{=} \sum_n \lambda(xA_n) = \sum_n \mu(A_n).$$ El problema: El último hábitat de la unión no tiene que ser disjuntos (es decir, tomar $A_0 = {0},A_1 = {a},x$$xa = 0$). Este es un problema que tiene que ser solucionado de alguna manera, tal vez con exclusión de elementos que no inducir una inyección a través de la multiplicación. Pero esto es un estúpido revisión. Puede haber elementos que no inducir una inyección, para que la igualdad sea verdadera, es decir, si el que ocurren las intersecciones tienen medida cero.

Supongamos que la igualdad se cumple para todos los conjuntos medibles. Si se puede demostrar que $\mu$ es regular borelmeasure, también sería una Haar-medir y por la singularidad no existe $l(x) > 0$ tal que $\mu(A) = l(x) \lambda(A)$. Vemos que $l(xy) = l(x)l(y)$.

Ahora sólo tenemos que discutir al $\mu$ es regular borelmeasure.