¿Por qué $\sqrt{x^2}$ parecen ser iguales a $x$ y no $|x|$ cuando se multiplican los exponentes?

Question

Entiendo que $\sqrt{x^2} = |x|$ porque la raíz cuadrada principal es positiva.

Pero como $\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$ no debería $\sqrt{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x$ debido a que los exponentes se multiplican juntos?

Además, ¿acaso no $(\sqrt{x})^2$ conservar el signo de $x$ ? Pero no debería $(\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x})(\sqrt{x}) = \sqrt{x^2}$ ?

¿Cómo puedo conciliar todo esto? ¿Qué normas desconozco?

Edición: Ya que alguien votó por cerrar mi pregunta, probablemente debería explicar la diferencia entre mi pregunta y Demostrar que la raíz cuadrada de un cuadrado es lo mismo que el valor absoluto , por mucho que piense que la diferencia debería ser obvia para cualquiera que lea las preguntas. Cole Johnson estaba preguntando si hay alguna manera de probar que $\sqrt{x^2} = |x|$ . No estoy preguntando eso; ya acepto la ecuación como un hecho. Estoy preguntando cómo resolver algunas aparentes contradicciones que surgen al considerar las raíces cuadradas de los cuadrados, y cómo debo abordar este tipo de problemas.

Answer 1

La norma $(x^a)^b = x^{ab}$ sólo es cierto para valores positivos de $x$ . Con los valores negativos, hay que tener mucho más cuidado.

Por ejemplo, $\sqrt x \sqrt x = \sqrt{x\cdot x}$ sólo es cierto para valores positivos de $x$ porque para los valores negativos, el lado izquierdo es no definido .

Answer 2

Una fuente común de confusión o de "paradojas" proviene de no prestar mucha atención a las restricciones o condiciones de contorno (que quizás se ejercen raramente). Estas restricciones son necesarias para garantizar que no se produzcan paradojas como la que usted considera (es decir, de lo contrario las definiciones no estarían bien definidas). Por ejemplo, he aquí una definición adecuada de los exponentes racionales de Michael Sullivan Álgebra universitaria :

Nótese que aquí sólo consideramos números reales. Ahora, para responder a sus preguntas:

Pero como $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ no debería $\sqrt{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x$ debido a que los exponentes que se multiplican juntos?

La primera afirmación no es generalmente cierta; $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ sólo siempre que $\sqrt{x}$ existe (es decir, no para los negativos $x$ ). En tu igualdad encadenada, la segunda igualdad es falsa, porque el exponente en $x^{\frac{2}{2}}$ contiene factores comunes (es decir, no está en términos más bajos). Sin embargo, estas afirmaciones serían ciertas si $x$ se restringió sólo a los números reales positivos.

Además, ¿acaso no $(\sqrt{x})^2$ conservar el signo de $x$ ? Pero no debería $(\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x})(\sqrt{x}) = \sqrt{x^2}$ ?

Todas estas igualdades son falsas para los negativos $x$ porque en ese caso la expresión $\sqrt{x}$ no existe en números reales (es decir, es indefinido). Del mismo modo, si se observa con atención la regla de multiplicación de radicales, se verá la misma restricción contra las raíces cuadradas de números negativos.

Editar: Texto añadido de Precálculo: un enfoque de triángulo rectángulo por Ratti & McWaters. Esperemos que esto aclare la regla de los productos de las raíces cuadradas (a saber, que sólo los radicandos positivos pueden combinarse o separarse en general). También hay que tener en cuenta la advertencia de la sección sobre números complejos de que hacerlo en ese caso es ilegítimo.

Answer 3

Considere lo siguiente: $$1^{\frac1n}$$ Busca las raíces de la unidad.

La raíz enésima de un número produce n respuestas diferentes, creando una forma regular de n lados con un "radio" de 1 en el plano complejo.

¿Pero qué significa esto? Bueno, podrías considerar esto...

La raíz enésima de un número positivo en general.

Esto elimina todas las demás respuestas posibles, dejándonos con una sola respuesta. Entre las respuestas eliminadas estaba la respuesta original, pero como las matemáticas de la vida real suelen ignorar esto, estamos bien.

Ahora los carteles, como puedes imaginar, se han estropeado. Nosotros, como sociedad en general, hemos decidido que sean positivos. Esto ha hecho que las matemáticas sean mucho más fáciles para los alumnos más jóvenes que aún están aprendiendo matemáticas. Y a medida que tomamos más raíces, prácticamente perdemos los signos. Acabamos con $i$ de la empresa, los pros y los contras. No es que hayas metido la pata en ningún sitio, ha sido una simple decisión para que la función de raíz cuadrada sea positiva.

En muchas matemáticas, encontrarás que diremos que la raíz n-ésima de un número produce efectivamente n cantidad de respuestas, pero para las matemáticas de nivel inferior, nos quedamos con la respuesta positiva, o el resultado de ninguna respuesta positiva.

Quiero decir, piénsalo, ¿qué hace $\sqrt1=-1,1$ ¿para nosotros en la vida real? Resulta que no mucho. Cuando necesitamos tanto las respuestas positivas como las negativas, se sabe que eso es lo que encontramos. Pero no tiene mucha aplicación en la vida real.

Así que la regla es que las raíces cuadradas son positivas, y sólo hay que tener un punto en la mente para recordar que esta no es la única respuesta.

Answer 4

En primer lugar, $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ sólo cuando $a$ y $b$ son no negativos. $\sqrt{a}$ y $a^{\frac{1}{2}}$ no son la misma función, como señala Cameron Williams en los comentarios anteriores. En segundo lugar, podemos dividir el cuadrado de la raíz cuadrada. Para los valores positivos, $\sqrt{x^2} = x$ como era de esperar. Sin embargo, como $\sqrt{(-x)^2} = \sqrt{x^2}$ observamos que obtenemos una respuesta positiva a partir de un valor negativo, obteniendo $x$ de $-x$ . Podemos representar esto como un volteo de la función sobre el $x$ -eje, o en otras palabras, lanzando un signo negativo al frente (Por ejemplo, $y=-(x^2+5x)$ voltea $y=x^2+5x$ a través de la $x$ -eje). Así, obtenemos $$\sqrt{\gamma^2}=\begin{cases}\gamma & \gamma\geq 0\\-\gamma & \gamma<0,\end{cases}$$ Y esta es la definición de la función de valor absoluto