¿Cómo es esta propiedad de los números reales comprobado?

Question

Demostrar que $\dfrac{x^2}{(x − 1)^2} + \dfrac{y^2}{(y − 1)^2} + \dfrac{z^2}{(z − 1)^2} ≥ 1$ para todos los números reales $x, y, z$, cada uno diferente de $1$ y $xyz = 1$ de satisfacción.

¿Cómo probar esto?

Answer 1

Sustituir $a=\frac{x}{x-1}, b=\frac{y}{y-1}, c=\frac{z}{z-1}$.

Entonces tenemos $x=\frac{a}{a-1}$ y las identidades similares para que la condición implica $abc=(a-1)(b-1)(c-1)$ y $ab+ac+bc=a+b+c-1$.

Queremos probar $a^2+b^2+c^2 \ge 1$ que es equivalente a $(a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)-1 \ge 0$ o, utilizando la condición, $(a+b+c)^2 -2(a+b+c)+1 \ge 0$.

Pero la LHS es $(a+b+c-1)^2$ que es claramente no negativo. Por lo tanto el resultado.

Answer 2

Ya,$xyz=1$,tenemos dos cualesquiera de x,y,z es negativo o todo debe ser positivo, y en ambos casos los tres son distintos de cero.

CASO 1: Si todo x,y,z son positivos, espero que usted puede probar fácilmente.

CASO 2: si x,y es negativa, entonces tenemos $$x>x-1$$ Pero $$ x^2≤(x-1)^2.$$since if we assume $x=\frac{1}{2} $ then$x^2=(x-1)^2$ Por lo tanto, $$ 0<\frac{x^2}{(x-1)^2}<1$$

De manera similar se sigue para y, Pero para z tenemos $$\frac{z^2}{(z-1)^2}≤1$$if $z≤\frac{1}{2}$,else z>1 por lo tanto totalmente tenemos $$ \frac{x^2}{(x-1)^2}+ \frac{y^2}{(x-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} ≥1 $$ de ahí resultó.

Answer 3

debe ser $$\frac{(xy+yz+zx-3)^2}{(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2}\geq 0$ $ sugerencia: set $$x=a/b,y=b/c,z=c/a$ $ a determinado plazo después de la sustitución obtenemos $$ {\frac {{un} ^ {2}} {{b} ^ {2}} \left ({\frac {a} {b}} \right-1) ^ {-2}} + {\frac {{b} ^ {2}} {{c} ^ {2}} \left ({\frac {b} {c}} \right-1) ^ {-2}} + {\frac {{c} ^ {2}} {{un} ^ {2}} \left ({\ frac {c} {un}} \right-1) ^ {-2}} -1 $$ factoring todos tenemos $$ {\frac {\left (b {un} ^ {2}-3\, bca + {c} ^ {2} + {b} ^ {2} \right c) ^ {2}} {\left (a-b \right) ^ \left {2} (b-c \right) ^ {2} \left (- c + un \right) ^ {2}}} \geq 0$ $