Prueba que contiene grupos abelianos.

Question

Que $G \leq S_{999}$ sea un subgrupo abeliano de orden $|G| = 1111$. Demostrar que existe $i \in$ {$1,2,...,999$} tal que $\forall α \in G, α(i) = i$.

Muy bien, así me encontré con este problema y aunque parecía fácil al principio, comenzó a confundirme. Se ve como una prueba difícil y no sé dónde empezar. ¿Alguna idea?

Answer 1

El orden de $G$, $1111=11\cdot 101$, es el producto de dos números primos. Ya que es abelian, debe ser cíclica. Deje $\sigma$ ser un generador.

Desde $1111 > 999$, $\sigma$ debe ser un producto de algunos de los $11$-ciclos y algunos $101$-ciclos. Pero $999$ no puede ser escrita como una suma de no negativo múltiplos de $11$$101$, lo $\sigma$, y por lo tanto $G$, debe tener un punto fijo.

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Sospecho que la motivación para este problema es el problema de monedas, específicamente el $n=2$ de los casos, debido a Sylvester en 1884.

El resultado es que, si $a$ $b$ son relativamente primos enteros positivos, entonces cada entero $\geq (a-1)(b-1) = ab-a-b+1$ puede ser escrita como una suma de múltiplos de $a$ y múltiplos de $b$, mientras que $ab-a-b$ no.

A ver que no podemos tener $ab-a-b=ak+bl$ donde $k$ $l$ son enteros no negativos, considere la ecuación módulo $a$$b$. Esto nos da $l\equiv -1\pmod{a}$$k\equiv -1\pmod{b}$. Pero, a continuación,$ak+bl \geq a(b-1) + b(a-1) = 2ab-a-b > ab-a-b$.

Answer 2

Escribir la clase ecuación para la acción de la $G$$\{1,2,\dots , 999\}$. Tenemos

$999=|\{$puntos fijos de la acción$\}|+\sum [G: stab(n)]$

donde la suma se toma sobre un sistema de representantes de la no-trivial de las órbitas de la acción. Las posibilidades de $[G: stab(n)]$ en la suma, por tanto son 11 y 101 desde $1111>999$, pero 999 no puede ser escrito $11a+101b$ $a,b \geq 0$ como se puede ver por la búsqueda de la solución general a $11a+101b=999$. Así, no podemos tener un número no trivial de puntos fijos para la acción.

Nota: no necesitamos suponer $G$ fue abelian, aunque de Sylow de la teoría, ya que 101 no es congruente con 1 módulo 11, es fácil ver que cualquier grupo de orden 1111 es abelian cíclica (aún).