Referencia para la computación del adjunto del operador $L=\Delta^2$

Question

Necesito utilizar el operador adjunto del operador diferencial parcial $L=\Delta^2$ , donde $\Delta$ denota el laplaciano.

No quiero poner este cómputo en mi tesis, porque siento que es un poco de distracción ya que probablemente implicaría la forma local e integral de $L$ .

¿Hay algún libro donde pueda encontrar este operador adjunto?

Answer 1

Consideremos primero la identidad de Green para la función suave: $$\int_{\Omega} (\Delta^2 u )\,v = \int_{\Omega}\Delta u\Delta v + \int_{\partial \Omega} v\frac{\partial \Delta u}{\partial n} dS - \int_{\partial \Omega} \frac{\partial v}{\partial n} \Delta u\,dS.$$ Por lo tanto, tenemos: $$\int_{\Omega} (\Delta^2 u )\,v - \int_{\Omega} u\,(\Delta^2 v ) = \int_{\partial \Omega} v\frac{\partial \Delta u}{\partial n} dS -\int_{\partial \Omega} \frac{\partial v}{\partial n} \Delta u\,dS - \int_{\partial \Omega} u\frac{\partial \Delta v}{\partial n} dS + \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \Delta v\,dS.$$ Por lo tanto, cuando el dominio espacial de interés $\Omega$ está acotada y es abierta, $\Delta^2$ es un operador autoadjunto cuando su dominio es

• $\{w\in H^4(\Omega): w = \Delta w = 0 \text{ on }\partial \Omega\}.$

• $\{w\in H^4(\Omega): \dfrac{\partial w}{\partial n} = \dfrac{\partial \Delta w}{\partial n} = 0 \text{ on }\partial \Omega\}.$

• $\{w\in H^4(\Omega): w = \dfrac{\partial w}{\partial n} = 0 \text{ on }\partial \Omega\}.$

• $\{w\in H^4(\Omega): \Delta w= \dfrac{\partial \Delta w}{\partial n} = 0 \text{ on }\partial \Omega\}.$

Siempre que la combinación de estas condiciones de contorno haga desaparecer los términos de contorno ( $u$ , $v$ ambos satisfacen las condiciones de contorno), y realmente tienen sentido físico, $\Delta^2$ es autoadjunto.

Si no se da ninguna condición de contorno, simplemente $H^4(\Omega)$ El operador adjunto tendrá que tener en cuenta los términos de frontera, y la mayoría de las veces es imposible escribir la expresión explícita.

Si el dominio espacial de interés es $\mathbb{R}^n$ entonces $\Delta^2$ es autoadjunto en $H^4(\mathbb{R}^n)$ (cuando se asumen/aprueban ciertas propiedades de descomposición).

Si $\Delta^2$ es difícil de analizar, se puede construir una extensión autoadjunta utilizando Teorema de la extensión de Friedrichs ya que puede considerarse un operador densamente definido. Por ejemplo, $\Delta^2$ es simétrica en $C^{\infty}_c(\mathbb{R}^n)$ que es denso en $H^4(\mathbb{R}^n)$ .