"completar el cubo"

Question

Dado un polinomio cuadrático $p(z) = z^2 +a z +b$$\mathbb{C}[x]$, se puede "completar el cuadrado" para escribir $p(z) = g(f(z)^2)$ donde $f,g$ son traducciones. \begin{align*} f(z) = z + a/2 && g(z) = z+ b - a^2/4 \end{align*} En particular, $f,g$ son toda diffeomorphisms homeomorphisms de $\mathbb{C}$.

Pregunta: Dado un monic polinomio de grado 3 $p(z)$ con coeficientes complejos, siempre es posible encontrar toda la diffeomorphisms homeomorphisms $f,g$ $\mathbb{C}$ tal que $p(z) = g( f(z)^3)$?

La respuesta es sí, ¿cómo explícitas, pueden los mapas $f,g$? Hace este trabajo de grado superior polinomios?

Answer 1

OK lo pensé un poco más y creo que la respuesta es no.

Fácil hecho: Vamos a $q : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ser una función, vamos a $f,g$ ser bijections de $\mathbb{C}$ y deje $c \in \mathbb{C}$. A continuación, $g(q(f(z))) = g(c)$ tiene tantas soluciones como $q(z) = c$. De hecho, $f$ pone los conjuntos de soluciones en bijection.

Ahora, observe que $z^3 = 0$ tiene exactamente una solución. Eso significa que, para cualquier función de la forma $p(z) = g(f(z)^3)$ donde $f,g$ son bijections, debería de existir un $c \in \mathbb{C}$ tal que $p(z) = c$ tiene exactamente una solución.

No obstante lo anterior no ocurre para todos los polinomios de grado tres. Considere por ejemplo,$p(z) = z^3 + 3z^2$. Deje $c \in \mathbb{C}$. La ecuación de $p(z) = c$ tiene tres soluciones, a menos que el discriminante $\Delta_c = 27(4-c)c$ $p(z) - c$ se desvanece. Por lo $p(z) = c$ sólo tiene menos de tres soluciones al $c=0$ o $4$. En cada uno de estos casos, $p(z) = c$ tiene dos soluciones. Por lo tanto, no es posible encontrar discontinuo bijections $f,g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que $g(f(z)^3) = z^3 + 3z^2$.