¿Qué es un modo?

Question

La palabra modo aparece en muchos campos de la física, pero no recuerdo haber encontrado nunca una definición sencilla pero precisa.

Después de haber buscado infructuosamente en este sitio también, un lugar fácil de encontrar con (una o más) buenas respuestas parece en orden.

Objetivo

Lo ideal sería que las respuestas dieran una definición intuitiva y fácil de recordar de lo que es un modo es, preferiblemente en un contexto general. Si la limitación es necesaria para una respuesta detallada, asuma un contexto de física teórica, por ejemplo, expansiones de modo en la teoría cuántica de campos.

Answer 1

En un sentido muy matemático, la mayoría de las veces un modo se refiere a un vector propio de una ecuación lineal. Consideremos el problema de los muelles acoplados $$\frac{d}{dt^2} \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} - 2 \omega_0^2 & \omega_0^2 \\ \omega_0^2 & - \omega_0^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$$ o en forma independiente de la base $$\frac{d}{dt^2}\lvert x(t) \rangle = T \rvert x(t) \rangle \, .$$ Este problema es difícil porque las ecuaciones de movimiento para $x_1$ y $x_2$ están acoplados. Los modos normales son (hasta el factor de escala) $$\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array} \right] \, .$$ Estos vectores son vectores propios de $T$ . Al ser vectores propios, si expandimos $\lvert x(t) \rangle$ y $T$ en términos de estos vectores, las ecuaciones de movimiento se desacoplan. En otras palabras

El conjunto de modos normales es la base vectorial que diagonaliza las ecuaciones de movimiento (es decir, diagonaliza $T$ ).

Esa definición te llevará bastante lejos.

La situación es la misma en la mecánica cuántica. Los modos normales de un sistema provienen de la ecuación de Schrodinger $$i \hbar \frac{d}{dt}\lvert \Psi(t) \rangle = \hat{H} \lvert \Psi \rangle \, .$$ Un vector propio de $\hat{H}$ es un modo normal del sistema, también llamado estado estacionario o estado propio. Estos modos normales tienen otra propiedad importante: bajo la evolución del tiempo mantienen su forma, recogiendo sólo prefactores complejos $\exp[-i E t / \hbar]$ donde $E$ es el valor propio del modo bajo la $\hat{H}$ operador (es decir, la energía del modo). En realidad, este era también el caso en el sistema clásico. Si el sistema de muelles acoplados se inicia en un estado propio de $T$ (es decir, en modo normal), entonces permanece en una versión escalada de ese modo normal para siempre. En el caso de los muelles, el factor de escala es $\cos(\sqrt{\lambda} t)$ donde $\lambda$ es el valor propio del modo bajo la $T$ operador.

A partir de la discusión anterior podemos formar una definición muy física de "modo":

Un modo es una trayectoria de un sistema físico que no cambia de forma a medida que el sistema evoluciona. En otras palabras, cuando un sistema se mueve en un único modo, las posiciones de sus partes se mueven todas con la misma dependencia temporal general (por ejemplo, un movimiento sinusoidal con una única frecuencia), pero pueden tener diferentes amplitudes relativas.

Answer 2

El Diccionario gratuito La definición de "modo" en el contexto de la física es "cualquiera de los numerosos patrones de movimiento ondulatorio o vibración". Sin embargo, esta definición parece demasiado amplia e imprecisa. El modo puede dividirse en modo normal y modo cuasi-normal. A modo normal es una oscilación independiente del tiempo en la que la frecuencia y la forma de la onda son invariantes con el tiempo. A modo cuasi-normal es una perturbación de un campo cuya frecuencia y forma cambian con el tiempo.

Capítulo 49 de las Conferencias de Feynman sobre Física discute los modos como diferentes resultados obtenidos al confinar las ondas de diversas maneras dentro de alguna región finita.

En general, las ondas que se propagan se clasifican según los modos de propagación. Las ondas sonoras, por ejemplo, pueden dar lugar a varios tipos de movimiento cíclico de las partículas cuando una onda atraviesa un medio . El modo puede ser determinado por las propiedades del medio así como por la frecuencia de la onda.

Siempre que se trate de una oscilación o vibración u otra repetición regular de movimiento, se puede clasificar como que presenta uno u otro modo de movimiento. Cuando se tiene "movimiento colectivo de muchas partículas individuales" En el caso de los fenómenos que presentan un movimiento ondulatorio, la clasificación según los modos puede ser una forma adecuada de investigar y clasificar dichos fenómenos.

Answer 3

Lo intentaré de forma más intuitiva. Uno de los aspectos más fundamentales de la imagen física del mundo (no sólo) es la descomposición de la complejidad en partes más simples. Y es aún mejor cuando las piezas del rompecabezas conforman la imagen completa sin huecos ni solapamientos.

Tal cosa (no sólo) para las oscilaciones son los modos ortogonales. ¿Qué significan estas palabras? "Modo" es "una forma posible de hacer las cosas" y "ortogonal" significa en realidad que las piezas del puzzle no se superponen. Mediante la "cooperación" (por ejemplo, combinación lineal, coeficientes de Fourier...) de estas "formas independientes de hacer las cosas" se describe el movimiento complejo. La cuestión: descomponemos un movimiento oscilatorio feo en algunas "partes más bonitas y comprensibles".

El ejemplo más famoso son las oscilaciones acopladas. Si miras el sistema midiendo las posiciones de las masas medidas desde la pared sólida, verás un lío. Pero! Si lo ves como una combinación de centro de gravedad y movimiento relativo de las masas, entonces se produce la simplicidad.