Descomposición de Wedderburn

Question

¿Cómo puedo obtener la descomposición de Wedderburn el módulo de $KG$, si tengo la irreductible represenations del grupo $G$? Estoy confundido por un post aquí he encontrado:

¿Por qué es el Wedderburn fórmula en este caso mal?

El último sumando en la descomposición de Wedderburn es $Mat(2,F_9)$, pero los asociados irreductible representación es $$< \begin{pmatrix} \ & \ & \ & 1 \\ \ & \ & 1 & \ \\ \ & 1 & \ & \ \\ 1 & \ & \ & \ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \ & 1 & \ & \ \\ \ & \ & 1 & \ \\ \ & \ & \ & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} >. $$ I. E. esto son matrices en $Mat(4,F_{3})$ (esto está relacionado en el post). ¿Por qué escribo de $Mat(2,F_9)$ como un sumando?

Answer 1

Ya que la pregunta del contexto es sobre todo un montón de cosas que he escrito, permítanme mencionar que todo lo que el OP dice que es cierto y bien. El álgebra generada por los dos matrices es isomorfo a $M_2(\mathbb{F}_9)$. El centro de esta álgebra es su centralizador, y es isomorfo a $\mathbb{F}_9$. Entonces encuentra un conjunto de matriz de unidades en el interior del anillo. Los elementos específicos que no parecen ser educativo, en este caso en particular. Escrito $M_2(\mathbb{F}_9) \leq M_4(\mathbb{F}_3)$ se llama un "blow up" en esta parte del álgebra, y es simplemente darse cuenta de que el isomorfismo natural de los módulos de $\mathbb{F}_9^2 \cong \mathbb{F}_3^4$.

Aquí es un poco de HUECO código para empezar. Centro y Centralizador son útiles. No estoy seguro de la más simple comando para obtener la matriz de unidades.

gap> x:=PermutationMat((1,4)(2,3),4,GF(3));
[ [ 0*Z(3), 0*Z(3), 0*Z(3), Z(3)^0 ], [ 0*Z(3), 0*Z(3), Z(3)^0, 0*Z(3) ], 
  [ 0*Z(3), Z(3)^0, 0*Z(3), 0*Z(3) ], [ Z(3)^0, 0*Z(3), 0*Z(3), 0*Z(3) ] ]
gap> y:=CompanionMat((X(GF(3))^5-1)/(X(GF(3))-1));
[ [ 0*Z(3), 0*Z(3), 0*Z(3), Z(3) ], [ Z(3)^0, 0*Z(3), 0*Z(3), Z(3) ], 
  [ 0*Z(3), Z(3)^0, 0*Z(3), Z(3) ], [ 0*Z(3), 0*Z(3), Z(3)^0, Z(3) ] ]
gap> a:=AlgebraWithOne(GF(3),[x,y]);
<algebra-with-one over GF(3), with 2 generators>
gap> Size(a);
6561
gap> Size(GF(9)^[2,2]);
6561
gap> Size(GF(3)^[4,4]);
43046721