¿Cuando se conecta la región $|P(z)|<r$?

Question

$z$ es en el plano complejo, r es real, y P(z) es un n-ésimo orden de polinomio en z

Hay una manera de determinar el valor mínimo de $r$ para los que la región de $|P(z)|<r$ está conectado región? Por conectadas quiero decir que cualquier punto en la región se puede llegar desde cualquier otro punto de la región por un camino totalmente en la región.

Una pregunta equivalente sería: Hay una manera de determinar en qué valor de $r$ de la superficie de la $P(z)=r$ cambios de una sola superficie continua a múltiples desconectadas de las superficies?

En el límite de un gran $r$, la región se convierte en un círculo grande. En el límite de la pequeña $r$, se convierte en un conjunto de desconectado círculos, uno alrededor de cada raíz de $P(z)$.

Si el umbral de $r$ no se puede determinar analíticamente para un general $P(z)$, hay no trivial casos especiales de $P(z)$ para los que se puede?

Ejemplo:

$|(z+2)(z+i)(z-1)|<2.7$

está conectado.

$|(z+2)(z+i)(z-1)|<1.3$

no está conectado.

$|(z+2)(z+i)(z-1)|<1.1$

es más desconectado.

Answer 1

Una respuesta parcial:

Observe que en este problema, cuando conectado región se desconecta, las piezas "pizca" de uno a otro. En otras palabras, la envolvente de la superficie se convierte en no-suave. Así que si dejamos $P(z)=r*e^{it}$, estos pellizcos puntos será discontinuidades en $\frac{dz}{dt}$, es decir, lugares donde $\frac{d^{2}z}{dt^{2}}$ diverge. Así podemos calcular:

$\frac{dP}{dt}=\frac{dP}{dz}\frac{dz}{dt}=r*i*e^{it}$

$\frac{d^{2}P}{dt^{2}}=\frac{dP}{dz}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+\frac{d^{2}P}{dz^{2}}\frac{dz}{dt}\frac{dz}{dt}=-r*e^{it}$

Dado que todos los factores en que eqn son finitos, $\frac{d^{2}z}{dt^{2}}$ sólo puede divergir donde $\frac{dP}{dz}=0$.

Así que el pellizcar puntos se producen en las raíces de $\frac{dP}{dz}=0$, con el correspondiente umbral de r es igual al valor de $|P(z)|$ en aquellos raíz de la z.

Para utilizar el Ejemplo en las parcelas, $P(z)=(z-1)*(z+2)*(z+I)$

$\frac{dP}{dz}=0$ a z=(-1.15-0.27 i) y z=(.486-.40i)

El correspondiente valor de r se 2.63239 y 1.26628. Estos pellizcos puntos y el correspondiente umbral de r son consistentes con las parcelas.

Sin embargo, este enfoque requiere cálculo explícito de las raíces de la $\frac{dP}{dz}=0$, lo que podría ser poco práctico.

Answer 2

El conjunto $\{ z:|P(z)|<r\}$ está conectado si y sólo si $r>\max\{ |P(c)|:P'(c)=0\}$. Puntos de $c$ tal que $P'(c)=0$ son llamados puntos críticos ans puntos de $P(c)$ con estos $c$ son llamados valores críticos.

Para ver esto, considere la gráfica de $|P(z)|,$ $u(z)=\log|P(z)|$ como un paisaje de montaña. Este paisaje no tiene picos (máximos) y el único de fosas (mínimos) son los ceros de $P$. Tiene puntos de silla exactamente en los puntos críticos de $P$. Ahora piensa en el conjunto de nivel de $\{ z:|P(z)|=r\}$ $r$ disminuye de $+\infty$. Al $r$ es muy grande, este conjunto se compone de una gran curva que se asemeja a un círculo. De modo que su conjunto está conectado (interior de la curva). Cuando $r$ es igual al valor absoluto de la de mayor valor crítico, el conjunto de nivel debe parecerse al de la figura 8, y como $r$ se hace más pequeño, se dividirá en dos componentes (si el cero $P'(c)$ es simple. En general se puede dividir en más de 2). Cada componente contiene un cero de $P$, por lo que nunca va a desaparecer, y su conjunto permanecerá desconectado como $r$ disminuye a $0$.

Aún más que dividir como $r$ pasa en otros valores críticos hasta que se convierta en una unión de pequeños discos de uno en torno a cada cero de $P$.