¿Análisis de cómo muchos de cuadrados y rectángulos sobre un tablero de ajedrez?

Question

Sé la fórmula $$f(n) = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1) } 6$ $

Desde el tablero de ajedrez consiste en $8\times 8$, por lo tanto aquí $n=8$.

¿Pero quiero saber cómo se ha concluido? ¿También cómo hacer el número de rectángulos?

Answer 1

Aquí está una manera fácil de contar el número de rectángulos. Hay $9$ líneas horizontales en el tablero de ajedrez, y $9$ líneas verticales. Elija dos líneas horizontales y dos líneas verticales. Estos determinan un único rectángulo. Y cualquier rectángulo determina un par de líneas horizontales y un par de líneas verticales.

Por lo que el número de rectángulos es $\binom{9}{2}^2$. Que es $1296$.

Exactamente la misma idea se puede utilizar para contar el número de rectángulos en un $m$ $n$ tablero de ajedrez. Es $$\binom{m+1}{2}\binom{n+1}{2}.$$

El número de plazas es un poco menos agradable. Es fácil ver que hay $8^2$ pequeña $1\times 1$ plazas, $7^2$ $2\times 2$ plazas, y así sucesivamente hasta $1^2$ $1\times 1$ cuadrados, para un total de $$1^2+2^2+3^2+\cdots+8^2.$$ Ahora podemos añadir, pero hay también una sencilla fórmula para la suma de los primeros a $n$ plazas. La misma idea funciona para el conteo de las casillas en un $n \times n$ tablero de ajedrez.

Answer 2

Si nos fijamos en un tablero de ajedrez ($n = 8$), hay

• 1 cuadrado de tamaño 8x8
• 4 plazas de tamaño 7x7
• 9 plazas de tamaño 6x6
• y así sucesivamente hasta que
• 64 plazas de tamaño 1x1

Así que, realmente, la fórmula se reduce a la suma de $\sum_{i=1}^n i^2$, que puede ser derivada como se muestra en las respuestas aquí. Véase también un enfoque combinatorio para adaptarse mejor a su pregunta.

Para rectángulos, tenga en cuenta que para un $n \times m$ tablero de ajedrez, hay $n+1$ líneas que forman las filas y $m+1$ líneas que forman las columnas. Un rectángulo será atado por dos de estas filas y dos columnas, de modo que el número de rectángulos está dada por:

$R(n,m) = \binom{n+1}{2}\binom{m+1}{2}$

Tenga en cuenta que la fórmula es generalizada para cualquier rectangular con tablero de ajedrez, no sólo un cuadrado.

Answer 3

Para obtener las plazas, integrar $(m+1-x)(n+1-x)$ $x$ $1$ $m$, donde $m$ y $n$ son las dimensiones de un tablero de ajedrez de $m\times n$, donde $m\lt n$.