$1, e^{ix}, e^{-ix}$ son linealmente independientes

Question

Considerar el espacio de todas las funciones $f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}$. Demostrar que $\{1, e^{ix}, e^{-ix}\}$ son vectores linealmente independientes.

Answer 1

Independencia lineal de $\{f,g,h\}$ significa que $\alpha f + \beta g + \gamma h=0$ implica $\alpha=\beta=\gamma=0$. Aquí $f(x)=1$, $g(x)=\mathrm e^{\mathrm ix}$ y $h(x)=\mathrm e^{-\mathrm ix}$.

Para ver esto, vamos a evaluar las funciones en tres puntos diferentes. Dicen $x=0$, $x=\pi/2$ y $x=\pi$. A continuación, obtenemos $$\begin{align} \alpha f(0) + \beta g(0) + \gamma h(0) &= \alpha + \beta + \gamma &= 0 &&(1)\\ \alpha f(\pi/2) + \beta g(\pi/2) + \gamma h(\pi/2) &= \alpha + \mathrm i\beta-\mathrm i\gamma &= 0 &&(2)\\ \alpha f(\pi) + \beta g(\pi) + \gamma h(\pi) &= \alpha - \beta -\gamma &= 0 &&(3) \end{align}$$ Addint la ecuación (1) y (3) ya da $\alpha=0$. Si queremos insertar esto en (1) y (2) y dividir (2) por $\mathrm i$, obtenemos $$\begin{align} \beta + \gamma &= 0 &(4)\\ \beta - \gamma &= 0 &(5) \end{align}$$ La adición de (4) y (5) da $\beta=0$, restando estas ecuaciones da $\gamma=0$.

Así, los tres funciones son linealmente independientes.

Tenga en cuenta que si hubiéramos encontrado una solución, esto no habría demostrado dependencia lineal, porque no excluye la posibilidad de que en otros puntos, las funciones son diferentes (imagino que si habíamos elegido los valores $0$, $2\pi$ y $4\pi$ para evaluar las funciones a).

Answer 2

Recordar la definición de independencia lineal para vector $u,v$ $$C_1u + C_2 v = 0\iff C_1=C_2=0.$ $ ahora considerar $$C_1 \mathbf{1}+C_2 e^{ix}=0,\quad \forall x\in \mathbb{K},$$ $\mathbb{K}$ puede ser cualquier $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. La única solución es $C_1=C_2=0$.

Así que para tu caso, sería %#% $ #%

Answer 3

es fácil ver que es equivalente a decir que $1, \sin(x), \cos(x)$ son linealmente independientes. (porque usted puede conseguir ambos $\sin, \cos$ como una combinación.) para hacer esto asumir $$a + b \sin(x) + c\cos(x) = 0$ $ como una función, así que para todos los $x$. Si es así entonces también todos sus derivados debe desaparece, la primera de ellas en particular, así $$b \cos(x) - c \sin(x) = 0$ $ % los $x$. pero si $x = \pi$ y $\sin(\pi) = 0$ y $\cos(\pi) = -1$ por lo tanto b = 0 y por lo tanto c = 0, hecho.

Answer 4

Asumir $f(x):=a\cdot 1+b\cdot e^{ix}+c\cdot e^{-ix}=0$ % todos $x$. Después de multiplicar $e^{ix}$ y $y$ $e^{ix}$ la escritura obtenemos que $c+ay+by^2=0$ % todo $y$en el rango de $x\mapsto e^{ix}$. Esta gama contiene al menos tres puntos distinto, y un polinomio cuadrático está únicamente determinado por sus valores en tres puntos...

Answer 5

Supongo que quieren independencia lineal en $\mathbb{C}$. Sugerencia: Las tres funciones tienen diferentes comportamientos como $x\rightarrow i\infty$.