¿Es esta condición suficiente para determinar el espacio lineal de dimensión finita?

Question

A partir de la teoría de Banach sabíamos que:

1) Un espacio lineal(un espacio vectorial dotado de su vector de topología) $X$ finito de dimesion $dimX=n$ tiene la siguiente propiedad: Si ${\left\| \bullet \right\|_1}$ ${\left\| \bullet \right\|_2}$ son dos normas definidas en $X$, son equivalentes en el sentido de que $\exists C_{1},C_{2} \succ 0$ $C_{1}{\left\| x \right\|_1}\leq {\left\| x \right\|_2} \leq C_{2}{\left\| x \right\|_1}$ cualquier $x\in X$.

Considerar lo contrario el problema ahora:

2) Si alguna de las dos normas definidas en un espacio lineal $X$ son equivalentes, entonces podemos estar seguros de que $dimX \prec\infty$?

Por otra parte, sabemos también que a partir de 1) que cualquier espacio lineal $X$ de dimensión finita es completa. Ahora, considere el conversar problema:

3) Si cualquier norma definida en un espacio lineal $X$ hace que el espacio completo, entonces podemos estar seguros de que $dimX \prec\infty$?

Es este un problema abierto?

¿Hay alguna referencia de papel o en algún tipo de problema como este? O hay alguna de fácil contra-ejemplo?

Answer 1

Ambas condiciones implica la finitos-dimensionalidad de $X$. Si $\dim X = \kappa$ por un infinito cardenal $\kappa$, puede incrustar $X$ como un subespacio denso en $\ell^p(\kappa) = \left\{f \colon\kappa\to\mathbb{K} : \sum_{k\in\kappa} \lvert f(k)\rvert^p < \infty\right\}$ $1 \leqslant p < \infty$ mediante la asignación de cada elemento base para el "estándar" de los elementos del mismo índice en $\ell^p(\kappa)$, y, por ejemplo, la inducida por $\lVert\cdot\rVert_1$ $\lVert\cdot\rVert_2$ normas no son equivalentes, ya que la realización de uno es el reflexivo ($\ell^2(\kappa)$ es un espacio de Hilbert), mientras que la finalización, en el otro no ($\ell^1(\kappa)^\ast \cong \ell^\infty(\kappa)$, e $\ell^\infty(\kappa)^\ast \not\cong \ell^1(\kappa)$ se muestra de manera similar al caso de $\kappa = \mathbb{N}$).

Estas incrustaciones también se dan ejemplos de las normas sobre el infinito-dimensional espacios con respecto a que el espacio no es completa.

Las normas son, naturalmente, dado por

$$\lVert f\rVert_p = \left(\sum_{k\in\kappa} \lvert f(k)\rvert^p\right)^{1/p},$$

donde la suma sobre el (posiblemente) una cantidad no numerable de no-negativos en términos de $\lvert f(k)\rvert^p$ se define como

$$\sum_{k\in\kappa} \lvert f(k)\rvert^p := \sup \left\{\sum_{k\in F} \lvert f(k)\rvert^p : F \subset \kappa \text{ finite}\right\}.$$

Por supuesto, si la suma es finita, en la mayoría de los countably muchos de los términos de la suma no-cero.