La prueba de que $a^{\tan x} + a^{\cot x} \leq 2a$ donde $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ y $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

Question

$a^{\tan x}+a^{\cot x} \leq 2a$ donde $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

Me gustaría prueba de la desigualdad, que se muestra más arriba. Me pasé todo el día, de pensar acerca de ello - traté de algunas desigualdades como la relación entre exponencial y lineal o de Jensen, pero no funciona. He intentado también por cálculo - pero cuando calculamos la derivada y se supone que es igual a 0 tenemos igualdad que no es fácil de resolver. Tal vez alguien tiene una idea, tal vez es fácil y no sé por qué tengo un problema... yo estaría muy agradecido si me puede dar una pista, no quiero una solución completa :)

Answer 1

Si ponemos $\tan(x)=z$ tenemos $z\in [0,1]$ y nos podemos encontrar el máximo de $$ f(a)=a^{z-1} + a^{\frac{1}{z}-1} $ $ en el intervalo de $a\in\left[\frac{1}{2},1\right]$. Puesto que la función dada es convexa (es la suma de dos funciones convexas) el máximo se alcanza en el límite. En $a=1$ tenemos $f(a)=2$ y $a=\frac{1}{2}$ tenemos $$ f(a) = \frac{2}{2^{z}}+\frac{2}{2^{1/z}}\leq 2 $ $ por lo tanto, $f(a)\leq 2$ como quería.