¿Cómo puedo resolver una ecuación diferencial como esta?

Question

Mi problema es: esta ecuación diferencial dada $$x^3+y^3+x^2y-xy^2y^{\prime}=0$$ $% $ $(x\neq 0,\ y\neq 0)$

Mi planteamiento fue: tuve la idea de traer en esta forma:

$$x^3+y^3+x^2y-xy^2y^{\prime}=0$$ $$x^3+y^3+x^2y=xy^2y^{\prime}$$ $$\frac{x^3}{xy^2}+\frac{y^3}{xy^2}+\frac{x^2y}{xy^2}=\frac{xy^2y^{\prime}}{xy^2}$$ $$\frac{x^3}{xy^2}+\frac{y^3}{xy^2}+\frac{x^2y}{xy^2}=y^{\prime}$$ $$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=y^{\prime}$$

Pero este es el punto donde me han pegado. ¿Parece que la expresión es cada vez más compleja y no conduce a ninguna solución... Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Sugerencia: Hacer el cambio de variable $y=zx$. Obtendrá una ecuación separable. Usted puede hacer que, desde el punto en que llegó, pero es bastante más simple que empezar todo de nuevo. Para información general (que no será necesario en este caso) de la búsqueda para homogénea de la ecuación diferencial.

Más: Vamos A $y=zx$. A continuación,$y'=z+xz'$. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos $$x^3+z^3x^3 +x^3z-x^3 z^2(z+xz')=0.$$ Dividir a través de por $x^3$. Hay algunas buenas cancelación, y terminamos con $$xz^2z'=1+z.$$ Esta es una ecuación separable, que espero que usted puede manejar. Hay una complicación en la que vamos a terminar con una solución implícita.