Esta es una ecuación diferencial:
$$\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-f(x)$$
Resulta que la respuesta es $\sin x$. ¡¿Pero cómo?!
Es imposible alcanzar una función trigonométricas mediante la integración de la ecuación. ¿Cómo han resuelto esto matemáticos?
Estoy de acuerdo que $\sin x$ es la respuesta correcta porque su segundo derivado es $-\sin x$, pero no tengo ni idea de cómo uno puede se obtuvo de la ecuación.
Otros ejemplos son: $$\frac{d}{dx}f(x)=f(x)$ $, que lleva a la $e^x$.
Quizás en una forma de preguntar "¿cómo un radical se muestran en la solución a $x^2 + 3x + 7 = 0$?" o "¿Cómo una fracción se muestran en la solución a $3x + 2 = 9$?
No hubo raíces cuadradas en la primera ecuación, y no fracciones en la segunda...
La respuesta, en cierta medida, es que "el seno y el coseno son los nombres que damos a la clase fundamental de soluciones de 2º orden lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes y el tipo adecuado de discriminante", y que "las exponenciales son el nombre que damos a una clase de funciones que satisfacen lineal de primer orden ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes."
Ahora usted puede decir "Espera un minuto! Senos y cosenos venir a partir de los triángulos! Y exponenciales ... bueno...tomando potencias de 2, por ejemplo!"
Pero los poderes de los dos puede estar relacionado con una versión discreta de la ecuación diferencial que define exponenciales, y (con más trabajo) cosas que tienen que ver con los triángulos y los círculos puede estar ligada a la constante coef diff. eqns que producen los senos y cosenos. Así que es realmente un huevo y la gallina problema.
Pero estaré de vuelta por un momento y de acuerdo con usted: es sorprendente a primera, y delicioso, para ver estas cosas dispares relacionados.
Incluso sin el uso de números complejos, se puede demostrar que la solución de $y(x)$ de la ecuación, que satisface las condiciones iniciales $y(0)=0,\;y'(0)=1$ es necesariamente periódico, la primera aumenta, disminuye, entonces se aumenta la ganancia.
La teoría de las funciones trigonométricas pueden ser totalmente basados en esta ecuación diferencial. Si recuerdo bien, es un ejercicio de M. Spivak del Cálculo.
Te voy a mostrar esta ecuación 'contiene' las semillas de todas las propiedades de las funciones trigonométricas en un ejemplo sencillo: tenemos $$y^2+y'^2=1.$$ En efecto, la derivada de la l.h.s. es $$$2yy'+2y i"=2yy'-2y y=0,$$ por lo tanto, por el valor medio teorema, $y^2+y'^2$ es una función constante. Esta constante es igual a $y(0)+y'(0)=1$.
Nota
Si usted interpretar la ecuación de $y''+y=0$ como la ecuación que las reglas de un sistema mecánico, como un péndulo, la relación $y^2+y'^2=\sin^2x+\cos^2x=1$ es sino la ley de conservación de la energía.
Usando la ecuación diferencial para obtener una recursión para una expansión de series de potencias para las soluciones y reconociendo la expansión de series de potencias de seno y coseno, tiene éxito.
Un enfoque que evita la serie de energía y evita funciones exponenciales: escriba $y''=-y$ $d(y')/dx=-y$, multiplicar por $1/{dy\over dx}$ tener (heuristically!) $d(y')/dy=-y/y'$ y $y'\,dy'=-y\,dy$. Integrar a $(y')^2=C-y^2$. Tomando el $C=1$ multiplicar por $dx$ (!) y esto da $dy/\sqrt{1-y^2}=dx$, que integra a $\arcsin y=x+C$. :)
Si usted sabe que $\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1}\over(2n+1)!}$$\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n}\over(2n)!}$, entonces usted puede intentar resolver con una potencia de solución de la serie.
Deje $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$, $f''(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}$
Desde $f''(x)=-f(x)$ $$\sum\limits_{n=0}^\infty -a_n x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}$$
Así que con algunos argumentos acerca de independencia lineal de $\{x^n\}_{n\in\Bbb n}$, el plazo por el término que debe estar de acuerdo así:
$-a_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}$ o $a_{n+2}=\frac{-a_n}{(n+2)(n+1)}$.
Este se divide para pares e impares $n$, $a_{2n}$ se resuelve en términos de $a_0$, e $a_{2n+1}$ en términos de $a_1$
Por lo $a_{2n}=\frac{a_0(-1)^n}{(2n)!}$ $a_{2n+1}=\frac{a_1(-1)^n}{(2n+1)!}$
Las condiciones iniciales de la ecuación diferencial será concretar $a_0$$a_1$, pero la solución general puede escribirse con algunas cuidado de señalar la convergencia como $$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n} x^n+ a_{2n+1}x^{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n} x^n+ \sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n+1}x^{2n+1}$$
$$=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_0(-1)^n}{(2n)!} x^n+ \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_1(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=a_0 \cos(x)+a_1\sin(x)$$
He encontrado que es útil para pensar acerca de las dos dimensiones de una partícula que viaja en una trayectoria circular.
la posición en el tiempo $t,(x,y) = (\cos t, \sin t)$
El sentido de la marcha (velocidad) es perpendicular al radio. $(x',y') = (-\sin t, \cos t) = (-y, x)$
La aceleración es centrípeta. $(x'', y'') = (-\cos t, - \sin t) = (-x,-y)$
Con el modelo de movimiento circular en la mente, que hace que parezca menos extraño ir a pesos en manantiales y movimiento periódico, y la ecuación diferencial en el más sentido abstracto.
Y como el trabajo anterior muestra $\cos t$ $\sin t$ son tanto en el conjunto solución de la ecuación diferencial $y'' = -y$
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