Estrategia de precios óptima

Question

Tengo 1 habitación para alquilar. Puedo pedir cualquier precio. Los clientes entran de forma secuencial. Si el cliente tiene un dinero igual o superior a mi precio, se llevará mi habitación. Si no, no recibo nada.

Supongamos que el dinero del cliente se distribuye exponencialmente con el parámetro $\lambda=1$ y son i.i.d, y hay $n=30$ clientes en total.

a) Suponga que su precio es fijo. ¿Cuál es su precio óptimo?

b) Si puedes cambiar el precio cada vez que quieras (es decir, le pides al cliente 1 10 dólares, puedes pedirle al cliente 2 5 dólares, etc.). ¿Cuál es su precio óptimo?

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Intento:

a) Para $n$ clientes, obtendré $p*I_{X_1 >p, OR, X_2>p, OR, X_3>p,......OR,X_n>p}$ , donde $I$ es la función indicadora. Así, i tendrá $p*n*exp(-p)$ tomando la derivada y poniéndola a 0, obtengo $p^*=1$ .

b) Para el precio ajustable, sea $p_i=$ precio que se pide por el $i_th$ cliente, entonces el beneficio es:

$p_1P(X_1>p_1) + p_2 P(X_1<p_1 \wedge X_2>p_2) + p_3 P(X_1<p_1 \wedge X_2<p_2 \wedge X3>p_3 +) ....$

$= p_1e^{-p1} + p_2(1-e^{-p_1})(e^{-p_2}) +...$

Answer 1

Haremos $a$ para $n$ clientes y llamar al precio $p$ . Esto será útil para b Para $a$ la posibilidad de que no consigas nada es la posibilidad de que ninguno de los $n$ la gente tiene tanto dinero. La posibilidad de que una persona tenga tanto dinero es $e^{-p}$ Así que la posibilidad de que no lo hagan es $1-e^{-p}$ y la posibilidad de que nadie tenga tanto es $(1-e^{-p})^n$ Por lo tanto, espera recibir $p(1-(1-e^{-p})^n)$ . Esto es lo que debes diferenciar y poner a cero. Alpha) no encuentra una solución analítica, pero encuentra que el máximo es $2.3738$ en $p \approx 2.81488$

b es más difícil. Evidentemente, a medida que se va pasando la gente, hay que bajar el precio. Esto significa que fracasar con la primera persona es menos costoso, por lo que probablemente deberías subir tu precio inicial. La forma de atacar es por la espalda. Cuando veas a la última persona, tu ingreso esperado es $pe^{-p}$ que tiene un máximo de $\frac 1e$ en $p=1$ . Ahora que lo sabes, puedes utilizarlo para fijar tu precio para la penúltima persona. Su rendimiento esperado es $pe^{-p}+(1-e^{-p})\frac 1e$ donde el primer término es el rendimiento esperado de la penúltima persona y el segundo término es el rendimiento esperado de la última. Encuentra el máximo y eso da tu precio de venta para el penúltimo. Sigue trabajando hacia atrás.