Si dos mapas de continuo en un espacio de Hausdorff está de acuerdo en un subconjunto denso, son idénticamente iguales

Question

Que $f, g : X \to Y$ ser funciones continuas. Asumir que el $Y$ es Hausdorff y que existe un subconjunto denso $D$ $X$ tal que $f(x) = g(x)$ % todos $x \in D$. Demostrar que $f(x) = g(x)$ % todos $x \in X$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora,

Prueba:
Que $f : X \to Y$ y $g : X \to Y$ ser continuo y Supongamos que $f(x)=g(x)$ $D\subset X$ densa. Que $x \in X$, $D$ es un subconjunto denso de $X$, $x \in \mathrm{Cl}(D)$. no estoy seguro cómo proceder desde aquí.

Answer 1

$Y$ ser que Hausdorff es equivalente a la diagonal $Δ = \{(y,y);~y ∈ Y \} ⊂ Y × Y$ cerrada.

El mapa $〈f,g〉\colon X → Y × Y$ es continuo y tiene $〈f,g〉(D) ⊂ Δ$. Por continuidad, obtienes %#% $ #%

Answer 2

Cuando tenemos que $f(x)\neq g(x)$ entonces existe abre $U_f$ y $U_g$ tal que $U_f\cap U_g=\emptyset$, aquí usamos la condición de Hausdorff. Ahora $A:=f^{-1}(U_f)\cap g^{-1}(U_g)$ es un circuito abierto desde $f,g$ son continuos. Entonces tenemos que en $A$ las funciones no coinciden. Esto contradice el hecho de que coinciden en un subespacio denso.

Edit: Aquí tenemos que $U_f$ es un abierto que contiene $f(x)$ y del mismo modo contiene un $U_g$ $g(x)$.