¿Cómo se demuestra ${n \choose k}$ es máxima cuando k es $ \lceil \frac n2 \rceil$ o $ \lfloor \frac n2\rfloor $ ?

Question

¿Cómo se demuestra $n \choose k$ es máxima cuando $k$ es $\lceil n/2 \rceil$ o $\lfloor n/2 \rfloor$ ?

Este enlace proporciona una especie de prueba, pero no es satisfactoria. Por lo que tengo entendido, se centra en los emparejamientos de productos presentes en $k! (n-k)!$ que son de la forma $i \times (i-1)$ . Ya que estos se minimizan cuando $i=n/2$ , obtenemos el resultado. Pero, ¿qué pasa con el razonamiento del resto de los términos?

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $\displaystyle \binom nk>0$ para $0\le k\le n$ donde $n>0,k$ son números enteros

Compruebe si $k$ tal que $$\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}=\frac{n-k}{k+1}>=<1$$

Answer 2

He hecho esta prueba en Metamath antes; puede ayudar a ver todo el asunto expuesto.

La prueba se desprende del hecho de que el coeficiente binomial es monótono en el segundo argumento, es decir ${n\choose k'}\le{n\choose k''}$ cuando $0\le k'\le k''\le\lceil\frac n2\rceil$ que se puede demostrar por inducción. Dado esto, sólo hay que poner $k''=\lceil\frac n2\rceil$ y $k'=k$ o $k'=n-k$ dependiendo de si $k\le\frac n2$ y se obtiene ${n\choose k}={n\choose n-k}\le{n\choose \lceil n/2\rceil}={n\choose \lfloor n/2\rfloor}$ (donde las igualdades se deducen por simetría del coeficiente binomial bajo $k\mapsto n-k$ ).

Para demostrar la monotonicidad, demostramos ${n\choose k-1}\le{n\choose k}$ para $1\le k\le\lceil\frac n2\rceil$ y por lo tanto ${n\choose k}\le{n\choose k+1}\le\dots\le{n\choose l}$ para cualquier $k\le l$ en el rango. Ahora sí:

$${n\choose k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{k}{n-k+1}={n\choose k}\frac{k}{n-k+1},$$

así que ${n\choose k-1}\le{n\choose k}$ si $\frac{k}{n-k+1}\le 1$ . Pero eso equivale a $$k\le n-k+1\iff 2k\le n+1\iff k\le \frac{n+1}2\iff k\le \left\lceil\frac{n}2\right\rceil,$$

y hemos terminado.

Answer 3

He aquí una prueba combinatoria, contando pares de subconjuntos contenidos unos en otros:

Cualquier $k$ -El subconjunto de elementos está contenido en $n-k$ diferentes $(k+1)$ -de elementos, mientras que cada $(k+1)$ -El subconjunto de elementos contiene exactamente $(k+1)$ diferentes $k$ -de elementos. Por lo tanto, siempre que $n-k > k+1$ tenemos que $\binom nk < \binom n{k+1}$ y una desigualdad en el otro sentido en el otro caso. El hecho de que el máximo esté en el centro se deduce inmediatamente.

Answer 4

La segunda identidad aquí da $$\binom{n}{k}-\binom{n}{k-1}=\frac{n+1-2k}{n+1} \binom{n+1}{k}. $$ Así, la secuencia de coeficientes binomiales $\binom{n}{k}$ con $n$ fija, es creciente mientras $2k \leq n+1$ o $$k \leq \left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor, $$ y es decreciente para todos los valores de $k$ Satisfaciendo a $2k \geq n+1$ o $$k \geq \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil.$$

Answer 5

Hay un truco general para las funciones con simetría que se puede utilizar aquí si se permite la continuación no entera de la función factorial (lo que se debería hacer, creo). Denotemos:

$\binom{n}{k} = F_{n}(k)$ .

La identidad binomial nos da:

$ F_{n}(k) = F_{n}(n-k)$ .

Tomando la derivada de ambos lados se obtiene:

$F'_{n}(k)=-F'_{n}(n-k)$ .

Suponiendo ahora que sólo existe un extremo en $k = \bar{k}$ entonces $F'(\bar{k}) = 0$ . Entonces tenemos:

$F'(n-\bar{k}) = 0 \rightarrow \bar{k} = (n-\bar{k})$

Dando, $\bar{k} = n/2$ . Traduciendo a números enteros se obtienen el suelo y el techo de (n/2) como soluciones.

Por supuesto, tuve que asumir que sólo había extremos del coeficiente binomial. Uno puede ver esto graficando el coeficiente binomial, pero aquí hay un esbozo de cómo se puede hacer con estas funciones.

De los requisitos, $F_{n}(0) = F_{n} (n) = 1$ y $F_{n}(k)>1$ sabemos que el número de extremos debe ser impar. De la identidad binomial,

$F_{n}(k+1) = \frac{n-k}{k+1} F_{n}(k)$ ,

se puede demostrar que la derivada un paso entero a la izquierda/derecha del punto extremo es positiva/negativa. Esto demuestra que los únicos puntos extremos permitidos son cóncavos. Como no se puede tener más de un extremo sin tener extremos convexos, concluimos que sólo hay un extremo.