¿Tensor de tensión energía para un Lagrangiano fermiónicos en espacio-tiempo curvo - que aparece en la EFE?

Question

Así, supongamos que tengo una acción del tipo: $$ S =\int \text{d}^4 x\sqrt {g}( \frac{i}{2} (\bar{\psi} \gamma_\mu \nabla^\mu\psi \nabla^\mu\bar{\psi} \gamma_\mu \psi) +\alpha \bar{\psi} \gamma_\mu \psi\bar{\psi}\gamma_\nu \psi g^{\mu\nu})$$ Donde $\psi$ es un fermionic campo y el resto tiene el significado usual ($\alpha$ es una constante de acoplamiento). Ahora, si escribo el Canónica de la energía impulso del tensor, me parece $$ \tilde{T}_{\mu\nu}= \frac{\delta L}{\delta \nabla^\mu\psi} \nabla_\nu\psi+ \nabla_\nu\bar{\psi} \frac{\delta L}{\delta \nabla^\mu\bar{\psi}}- g_{\mu\nu} L = 2i\bar{\psi} \gamma_{(\mu}\nabla_{\nu)}\psi -g_{\mu\nu} L $$

Pero, si escribo el tensor de Einstein de la relatividad general puedo conseguir $$T_{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}=2 i\bar{\psi} \gamma_{(\mu}\nabla_{\nu)}\psi + 2 g \bar{\psi} \gamma_\mu \psi\bar{\psi}\gamma_\nu \psi- g_{\mu\nu} L$$

Los dos son obviamente diferentes. Así que, cuál debo usar en las ecuaciones de Einstein? El problema viene cuando se escribe un término de interacción del tipo $A_\mu A^\mu$ donde $A$ es algunos de los actuales. Porque de lo contrario los dos tensor de coincidir. La primera energía de impulso es el invariante bajo las traducciones, por lo que es uno de satisfacciones $$\nabla_\mu \tilde{T}^{\mu\nu} = 0$$ Mientras que el segundo satisfacer la misma identidad sólo si $$\nabla_\mu A^\mu = 0$$ Básicamente mi pregunta es, que uno de los dos debe ser utilizado en las ecuaciones de Einstein? $G_{\mu\nu} = \kappa \overset{?}{T}_{\mu\nu}$ O estoy haciendo algo mal y los dos tensor de hacer realidad coinciden?

Answer 1

$\require{cancel}I) $OP está considerando la posibilidad de fermiones de Dirac en una curva el espacio-tiempo. OP acción tiene varias deficiencias. La acción correcta, lee$^1$

$$ S~=~\int\!d^nx~ {\cal L}, \qquad {\cal L} ~=~e L, \qquad L~=~T-V,\qquad e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|}, $$ $$ T~=~\frac{i}{2} \bar{\psi} \stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\nabla}} \psi \qquad V~=~ \alpha j^a \eta_{ab} j^b, \qquad j^a~:=~ \bar{\psi} \gamma^a\psi\qquad \bar{\psi}~:=~\psi^{\daga}\gamma^0,$$ $$ \bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\nabla}}\psi ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\partial}}\psi +\frac{1}{2} \omega_{c, ab}~\gamma^{cabina}\psi ~=~\bar{\psi}\left[\gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma^c\right]\psi $$ $$\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c}\psi ~:=~ \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}\psi +\frac{1}{4} \omega_{c, ab}~\gamma^{ab}\psi \qquad \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c} ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\partial_c} -\frac{1}{4} \bar{\psi}~\gamma^{ab}\omega_{c, ab},$$ $$\stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\partial}} ~:=~ \gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\partial_c} - \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma^c, \qquad \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}~:=~E^{\mu}{}_c \stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}}, \qquad \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}~:=~ \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c,$$ $$ \partial_{\mu}~:=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \qquad \gamma^{ab}~:=~\frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b], \qquad \gamma^{abc}~:=~\frac{1}{2}\{\gamma^a,\gamma^{bc}\}_+. \etiqueta{1} $$

II) El punto principal es que para escribir una covariante cinética por un término de Dirac fermión en la curva el espacio-tiempo, debemos utilizar una derivada covariante $\nabla_{\mu}\psi$ de un spinor $\psi$, y por lo tanto necesitamos un giro de conexión de $\omega_{\mu}{}^a{}_b$. A su vez, necesitamos un vielbein

$$g_{\mu\nu}~=~e^{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \etiqueta{2} $$

que (por simplicidad se asume) es covariantly conservado

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{3} $$

De ahí el giro de la conexión se completa determinado

$$ 2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_ {\nu} +e_ {\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_ {\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$ ~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{4} $$

y

$$ 2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cabina}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \etiqueta{5}$$

donde hemos definido

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{6}$$

III) La cinética plazo se convierte en

$$ T~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\nabla}}\psi ~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancelar{\partial}}\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~f_{abc}~\gamma^{cabina}~\psi $$ $$ ~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\left[\gamma^c~E^{\mu}{}_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c~\gamma^c \right]\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~E^{\mu}{}_a~\partial_{\mu} e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c ~\gamma^{cabina}~\psi. \etiqueta{7}$$

IV) La generalización natural de Hilbert SEM tensor

$$T^{\mu\nu}~=~- \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},\qquad(\leftarrow\text{No se aplica!})\qquad \etiqueta{8} $$

para fermiones está dado por la fórmula

$$T^{\mu\nu}~=~-\frac{E^{\mu c}}{2e}\frac{\delta S}{\delta e^c{}_{\nu}}+(\mu\leftrightarrow \nu), \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{e_{c\mu}}{2e}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_c}+(\mu\leftrightarrow \nu).\tag{9}$$

La fórmula (9) reduce a la norma de Hilbert SEM tensor (8) si la acción depende únicamente de la vielbein a través de la métrica (2). Sin embargo la fórmula (9) es más general y es necesario en el caso de los fermiones en la curva el espacio-tiempo.

V) El de Hilbert SEM tensor con tv de índices, a continuación, se convierte en

$$T_{cd}~:=~ E^{\mu}{}_c~ T_{\mu\nu} ~E^{\nu}{}_d~\stackrel{(9)}{=}~-\frac{e_{c\nu}}{2}\frac{\delta S}{\delta e^d{}_{\nu}} +(c\leftrightarrow d) ~=~\frac{E^{\nu}{}_c}{2}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu d}} +(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(7)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} (f_{cba}-f_{abc}-f_{acb})~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(5)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} \omega_{c,ab}~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(1)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_d} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma_d\right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d). \etiqueta{10} $$

Eq. (10) es la fórmula para el (generalizada) de Hilbert SEM tensor de Dirac fermión en la curva el espacio-tiempo. Esta es la cuestión adecuada del término fuente en la agencia EFE.

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$^1$ Uno puede mostrar que el Lagrangiano de densidad (1) es real usando

$$ (\gamma^a)^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^a\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{11} $$

Convenios: En esta respuesta, utilizaremos $(+,-,-,-)$ Minkowski convención de signos, y el álgebra de Clifford

$$\{\gamma^a,\gamma^b\}_+~=~2\eta^{ab}{\bf 1}.\tag{12}$$

Griego índices de $\mu,\nu,\lambda, \ldots,$ son las llamadas curvas de índices, mientras que Romano índices de $a,b,c, \ldots,$ son llamados planos de los índices.

Answer 2

Como @Holographer ha mencionado en un comentario, la fórmula correcta de la tensión tensor que entra en el EFE es $$ T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt {g}} \frac{\delta S_{\text{asunto}}}{ \delta g^{\mu\nu} } $$ mientras que lo que se computing es la canónica de la tensión tensor de energía. Sin embargo, hay una sutil relación entre los dos, que voy a desarrollar aquí.

Aparte de una teoría que contiene sólo los escaladores, la canónica tensor de tensiones es nunca el que entra a la agencia EFE. Esto es debido a que, en general, la canónica tensor de tensiones no es simétrica y por lo tanto no puede ser el mismo tensor de tensiones que entra en la agencia EFE. Por ejemplo, la canónica tensor de tensiones para el electromagnetismo es $$ (T^{EM}_{\mu\nu})_{\text{canónica}} = F^\rho{}_\mu \partial_\nu A_\rho + \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} $$ que no sólo no es simétrica, sino que también no invariante gauge. PS - La no-simetría es debido a la vuelta del campo involucrado y está estrechamente relacionado con el momento angular del tensor.

Sin embargo, existe una ambigüedad en la construcción del tensor de tensiones (la ambigüedad no cambia la conserva de los cargos que son cantidades físicas). Esta ambigüedad permite la construcción de un mejor tensor de tensiones (a menudo conocido como el Belinfante tensor) que es simétrica y conservado. Es que esta mejora de tensor que entra en la agencia EFE. (ref. este libro)

Para ver la equivalencia, recordemos que el estándar de la construcción de la tensión tensor. Considere la posibilidad de una transformación de coordenadas $$ x^\mu \x^\mu + a^\mu (x) $$ Desde la original Lagrangiano es invariante bajo traslaciones (donde $a^\mu$ es constante), el cambio en la acción bajo una transformación de coordenadas es $$ \delta = \int d^d x \sqrt {g} \nabla_\mu a_\nu T_B^{\mu\nu} $$ Ahora, si la tensión tensor es simétrico, entonces podemos escribir $$ \delta = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt {g} \left( \nabla_\mu a_\nu + \nabla_\nu a_\mu \right) T_B^{\mu\nu} $$ Tenga en cuenta que el término en paréntesis es precisamente el cambio en la métrica en virtud de la transformación de coordenadas. Por lo tanto, $$ \delta = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt {g} \delta g_{\mu\nu} T_B^{\mu\nu} \implica \frac{2}{\sqrt {g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} = T_B^{\mu\nu} $$

Así, vemos que la simétrica Belinfante tensor de tensiones es, precisamente, la gravitacional tensor de tensiones. Nota: por supuesto que lo que he dicho tiene específicamente en un Minkowskian de fondo, ya que la construcción de la $T_B^{\mu\nu}$ asume la invariancia de Lorentz.