Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ($x,y \in \Bbb R$):
$$\begin{cases} 3^{x+3y-2} + 6\cdot 3^{y^2+4x-2} &=5^{5y-3x} + 2\cdot 3^{y^2-2y+1}\\ 1+2\sqrt{x+y-1} &=3\sqrt[3]{3y-2x}. \end{casos} $$
Lo pienso pero no tengo todavía ninguna solución... :(
Desde la segunda ecuación, escribo a continuación $x+y \ge 1$ $y \ge \dfrac{2}{3}x.$ % que $y \ge \dfrac{2}{5}$.
Reescribir la ecuación 1:\begin{align*} 3^{x+3y-2} + 6\cdot 3^{y^2+4x-2} &=5^{5y-3x} + 2\cdot 3^{y^2-2y+1}\\ \iff 3^{x+3y-2} + 6\cdot 3^{y^2+4x-2}& \le 5^{5y-3x} -3^{5y-3x}+3^{5y-3x} + 2\cdot 3^{y^2+2y+1}\\ \iff (3^{x+3y-2}-3^{5y-3x})(1+2\cdot 3^{y^2+3x-3y+1})& \le 5^{5y-3x} -3^{5y-3x}\\ \iff (9^{2x-y-1}-1)\underset{>0}{\underbrace{(1+2\cdot 3^{y^2+3x-3y+1}})}&\le \left (\dfrac{5}{3} \right )^{5y-3x}-1. \end{align*} ahora, tengo problemas para... Cualquier persona puede subir las raíces de este sistema de ecuaciones exponenciales.
Realmente agradezco si alguien me puede ayudar. ¡Gracias!
