Esta es una manera de pensar acerca de ello:
Para cualquier $t ≠ \pm 1$ puede escribir $t$ $t = \tfrac{x-3}{x+1}$ o $t = \tfrac{3+x}{1-x}$ si se establece $x = \tfrac{3+t}{1-t}$ o $x = \tfrac{t-3}{t+1}$ respectivamente (lo que significa que $z ↦ \tfrac{z-3}{z+1}$ $z ↦ \tfrac{3+z}{1-z}$ son realmente involutons funciones inversas en $ℝ \setminus \{\pm 1\}$). En su solución, el $x$'s de las dos fracciones son realmente diferentes, el $t$ permanece el mismo.
Así que usted puede traducir su solución
Deje $t ≠ \pm 1$.
Escribir $t = \tfrac{x_1-3}{x_1+1}$ ($x_1$ existe), a continuación, $f(t) + …$
Escribir $t = \tfrac{3+x_2}{x_2-1}$ ($x_2$ existe), a continuación, $f(\tfrac{3+t}{1-t}) + …$
Las conclusiones aún son verdaderas porque el funcional ecuaciones siguen siendo válidos para el $x_i$'s se utiliza para escribir $t$ (usted tiene que comprobar que no se $\pm 1$, aunque). A continuación, puede agregar igualdades sin contradicción.
También, vale la pena mencionar que la transformación de Möbius
$$g \colon ℝ \setminus \{\pm 1\} → ℝ \setminus \{\pm 1\},\, x ↦ \tfrac{x - 3}{x + 1}$$
en realidad tiene orden de $3$ $g^3 = \operatorname{id}$ o $g^2 = g^{-1}$ donde $g^{-1}$ es realmente dado por $g^{-1} (x) = \tfrac{3 + x}{1 - x}$. Por lo $g$ $g^{-1}$ corresponden a las fracciones que se examina. Entonces se puede pensar de esa manera:
Es dado:
$$f∘g + f∘g^{-1} = \operatorname{id}$$
Pero luego, desde el $g$ orden $3$, usted tiene.
\begin{align*}
(f + f∘g)∘g &= f∘g + f∘g^2 &=& \operatorname{id}&, \quad \text{and}\\
(f∘g^{-1} + f)∘g^{-1} &= f∘g^{-2} + f∘g^{-1} &=& \operatorname{id}&
\end{align*}
Y así, multiplicando con $g$ o $g^{-1}$ desde el derecho que tiene:
$$f + f∘g = g^{-1}, \quad \text{and} \quad f∘g^{-1} + f = g$$
Y así, mediante la adición de esas y utilizando la ecuación funcional de nuevo:
$$g + g^{-1} = (f + f∘g) + (f∘g^{-1} + f) = 2f + \operatorname{id},$$
a partir de la cual se puede derivar el resultado de la $f = \frac{g + g^{-1} - \operatorname{id}}{2}$.
