¿Cómo encontrar la fórmula general para este problema recurrente?

Question

Quiero preguntar acerca recursiva del problema.

Dado: $$a_0= 11, a_1= -13,$$ and $$a_n= -a_{n-1} +2a_{n-2}.$$

¿Cuál es la fórmula general para $$a_n$$ ?

Ya he tratado de encontrar los primeros términos de esta serie. A partir de ahí, me dieron:

$$a_2 = 35, a_3= -61,$$ and $$a_4= 131.$$

A partir de ahí, creo que tengo que usar la regla de la aritmética y geométrica de la serie para encontrar la fórmula general que quiero encontrar.

Pero, no puedo encontrar el patrón de esta serie, debido a que las diferencias siempre está cambiando, de tal manera que a 24, 48, -96, 192.

A partir de allí creo que la fórmula general para a_n deben ser incluidos (-1)ü. Pero, ¿cómo podemos lidiar con la serie 24,48,96,192?

Parece que la serie es geométrica, pero ¿cómo podemos encontrar la fórmula?

Gracias

Answer 1

Lineal de Ecuaciones en Recurrencia tienen soluciones típicas $a_n=\lambda^n$. Con esto, podemos calcular los posibles valores de $\lambda$ para esta ecuación a partir de la $$ \lambda^n=-\lambda^{n-1}+2\lambda^{n-2} $$ lo que significa que, suponiendo $\lambda\ne0$, que $$ \lambda^2+\lambda-2=0 $$ Este es el polinomio característico de la recurrencia $$ a_n=-a_{n-2}+2a_{n-2} $$

El polinomio característico es $x^2+x-2$ que tiene raíces $1$$-2$. Por lo tanto, la secuencia es $a_n=b(1)^n+c(-2)^n$. El taponamiento en los valores de $n=0$ $n=1$ da $$ a_n=3+8(-2)^n $$

Answer 2

Un truco útil aquí es usar una función generadora.

Que $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$. Entonces tenemos que $f(x)=a_0+a_1x+\sum\limits_{n=2}^\infty a_nx^n=11-13x+\sum\limits_{n=2}^\infty (-a_{n-1}+2a_{n-2})x^n$. (1) tenga en cuenta que para esto último suma: $\sum\limits_{n=2}^\infty (-a_{n-1}+2a_{n-2})x^n=-x\sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-1}x^{n-1}+2x^2\sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n-2}$. (2) a continuación, volver a indexar las sumatorias produce:

(2) $= -x\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n+2x^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=-x\cdot(f(x)-a_0)+2x^2\cdot f(x)$.

Reescritura (1) y resolviendo para $f(x)$ cede entonces $f(x)=\frac{11-2x}{1+x-2x^2}$. Escribir la serie de Taylor de esta función e igualando coeficientes producirá entonces una fórmula $a_n$.

Answer 3

Permítanme tratar. Poner a $b_n = a_{n+1} + 2a_n$$n \geq 1$, uno tiene $$b_0=9,$$ and $$b_{n-1} = b_{n-2},\ \mbox{ for } n \geq 2.$$

Entonces uno ha $b_n = b_0 = 9$, para todos los $n$.

Por eso, $a_{n+1} + 2a_n = 9,$ todos los $n$.

Poner a $c_n = a_n - 3$, uno ha $c_{n+1} + 2c_n = 0$$c_0 = 8$.

Por lo tanto, $c_n = -2c_{n-1} = (-2)^n c_0 = 8.2^n.(-1)^n$.

Podemos obtener $a_n = 8.2^n.(-1)^n + 3$.

EDITAR:

La forma en que elige $b_n$ es un truco. Podemos resolver este problema de la siguiente manera.

Considere la ecuación: $a^2+a-2=0$. Tiene dos soluciones: $a_1=1$$a_2=-2$. A continuación, $x_n = \alpha a_1^n + \beta a_2^n$. De hecho, uno tiene

$$x_{n+2} + x_{n+1} - 2x_n = \alpha a_1^n(a_1^2+a_1-2) + \beta a_2^n(a_2^2+a_2-2) = 0.$$

Ahora, nos encontramos con $\alpha$$\beta$.

Tenemos $x_0 = \alpha + \beta = 11$, $x_1 = \alpha - 2\beta = -13$. A continuación, $\alpha = 3$$\beta = 8$. Llegamos $$x_n = 3 + 8(-2)^n$$

Answer 4

Hay dos formas:

En primer lugar, usted puede adivinar la respuesta. Después de un poco de investigación, usted ca ver que los valores absolutos de las diferencias están creciendo por un factor de dos, así que la búsqueda de una conexión entre las potencias de dos. Y, de hecho, $a_n=-(-2)^{n+3}+3$ parece funcionar. Podemos demostrarlo por inducción.

Como alternativa, puede intentar encontrar todas las progresiones geométricas, que satisfacen esa recurrencia. Así que asumir, $b_n$ es geométrica y $b_n=-b_{n-1}+2b_{n-2}$. Ahora podemos usar el hecho de que $b_n=c^nb_0$ para una cierta constante $c$ (es geométrica). Si sustituimos esto en, obtenemos: $$ b_0c^n=-b_0c^{n-1}+2b_0c^{n-2}\ffi c^2=-c+2\iff (c+2)(c-1)=0 $$ Así que o $c=-2$ o $c=1$. Por lo que sabemos, que cada secuencia de la forma $p_n=p_0(-2)^n$ $q_n=q_0(1)^n=q_0$ tiene la propiedad deseada. Además, incluso en las combinaciones lineales de $p_n$ $q_n$ tiene la propiedad deseada. Así que tenemos que encontrar a $p_0$ $q_0$ tal forma que: $$ a_n=p_n+q_n\implica 11=a_0=p_0+q_0 espacio\\text{y}\espacio -13=a_1=-2p_0+q_0 $$ Podemos resolver estas dos ecuaciones para obtener el $p_0=8$ $q_0=3$ que los rendimientos de $a_n=8(-2)^n+3=-(-2)^{n+3}+3$. Tenga en cuenta, que este enfoque funciona en general para las relaciones de recurrencia de la forma $a_n=\lambda a_{n-1}+\mu a_{n-2}$.