Problema de la serie de energía en análisis complejo

Question

Supongamos que $f(z)= (e^z)/(1-z)$

¿Cómo puedo saber la expansión de series de potencias de f $z=0$?? ¿Es que el uso del producto de cauchy tiene aquí? ¿Se puede hacer sin necesidad de utilizar el producto de cauchy? Por favor ayuda...

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Su $f(z)$ es el producto de dos funciones con serie de energía explícita expansión en $z=0$. Es decir, $$e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!},$ $ y $$\frac{1}{1-z} = \sum_{m=0}^\infty z^m.$ $

Así $$f(z) = e^z \cdot \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty z^m = \sum_{j=0}^\infty z^j \left(\sum_{l=0}^j \frac{1}{l!} \right).$ $

Realmente no creo que el % de la suma $\sum_{l=0}^j \frac{1}{l!}$, como bien dices obtenido por el producto de Cauchy, puede ser más simplificado (salvo que converge a $e$ $j\rightarrow \infty$), pero podría ser confundido con.

Answer 2

Producto de Cauchy es la forma más rápida de hacer esto.

$$\frac{1}{1-z}=\sum_n z^n$$ $$e^z=\sum_n \frac{z^n}{n!}$$ $$\frac{e^z}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$$

Los coeficientes son $\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$ son números enteros que satisfacen la recursividad fórmula $F_n=n F_{n-1}+1$, $F_0=1$.

Wolfram Alpha sugiere esta suma es igual a $e \Gamma(n+1,1)$ (función de Gamma incompleta).

Answer 3

Su función satisface la ecuación diferencial $$ f'(z)=f(z) \ g(z) $$ donde $$ g(z)= \frac{2-z}{1-z} = 1+\frac{1}{1-z} = 2+z+z^2+z^3+z^4+z^5+\cdots $$

Podemos aplicar la regla de Leibniz para $f'(z)=f(z) \ g(z)$ informática y de todos los derivados de $f$ $z=0$ forma recursiva, ya que los derivados de la $g$ $z=0$ conocen: $$ f^{(n+1)}(0)=\sum_{k=0}^n {n \elegir k} f^{(k)}(0) g^{(n-k)}(0) $$ Los coeficientes de la expansión de la $f$ $z=0$ de curso $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$.

Esta solución no uso de Cauchy producto, pero es probablemente más de trabajo.

Answer 4

Sugerencia: Es útil saber que la multiplicación con $\frac{1}{1-z}$ significa para resumir los coeficientes.

Que $A(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ ser una serie de energía. Se obtiene al multiplicar con $\frac{1}{1-z}$\begin{align*} A(z)\frac{1}{1-z}&=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_zz^k\right)\left(\sum_{l=0}^{\infty}z^l\right)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{{k+l=n}\atop{k,l\geq 0}}a_k\right)z^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^na_k\right)z^n\\ \end{align*}

Por lo tanto, cuando tenemos la suma $\sum_{k=0}^{n}a_k$ % de coeficientes $a_k$simplemente tenemos que multiplicar la serie de encendido corr. con $\frac{1}{1-z}$.

Teniendo esto en mente, usted puede concluir inmediatamente\begin{align*} \frac{e^z}{1-z}=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)z^n \end{align*}

Answer 5

Utilizando el producto de cauchy es una buena idea:

Sabemos $$e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$$ y $$\frac{1}{1-z} = \sum_{k=0}^\infty z^k \text{ for } |z| < 1.$$

Así que, por el producto de cauchy, tenemos alrededor de $z = 0$: $$f(z) = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \right) \left(\sum_{k=0}^\infty z^k \right) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \left( \frac{1}{l!} \cdot 1 \right) z^k = \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{1}{l!} z^k$$

Yo no soy consciente de que una expresión más sencilla para $\sum_{l=0}^k \frac{1}{l!}$, aunque podría ser.

También puede intentar encontrar una expresión general para la $k$-ésima derivada de $f$, y, a continuación, $f^{(k)}(0)/k!$ da $k$-ésimo coeficiente de potencia de la serie de $f$ alrededor de cero. Echemos un vistazo a la primera derivados: $$f^{(1)}(z) = - \frac{e^z (z-2)}{(1-z)^2}$$ $$f^{(2)}(z) = \frac{e^z (z^2-4z+5)}{(1-z)^3}$$ $$f^{(3)}(z) = - \frac{e^z (z^3-6z^2+15z-16)}{(1-z)^4}$$

Por lo tanto, la forma general debería ser algo como $$f^{(n)}(z) = (-1)^n \frac{p_n(z) e^z }{(1-z)^{n+1}}$$ donde $p_n(z)$ es de algún polinomio de grado $n$. Pero necesitamos la forma explícita de $p_n(z)$, ya que los constantes cambios a largo plazo el valor de $f^{(n)}(0)$. Esto parece significativamente más difícil problema de utilizar el producto de cauchy, así que le aconsejo en contra de ella.