Definición alternativa de producto del tensor que nada ocurra (a mi conocimiento)

Question

Cada espacio vectorial $V$ podría ser embebido en $V^{\ast}$ (ver aquí) después de elegir una base, para un vector dado $v \in V$ denotar esta incrustación por $v^{\ast}\in V^{\ast}$. Ahora para los que recibieron espacios vectoriales $V_1, \ldots, V_k$ más de algún campo $F$, vamos a $V = \{ \varphi : V_1 \times \ldots \times V_k \to F \mbox{ multilinear } \}$. ¿Por qué no definir el producto tensor de $V_1, \ldots, V_k$$T = \{ \varphi^{\ast} \mid \varphi\in V\}$. A continuación, el universal de la propiedad es, obviamente, de cumplirse, por si nos definir $\pi : V_1 \times \ldots \times V_k \to T$ $\pi(v_1, \ldots, v_k) = \Phi \in V^{\ast}$ con $$ \Phi(\varphi) = \varphi(v_1, \ldots, v_k). $$ Entonces, si tenemos algunos multilineal $\varphi : V_1 \times \ldots \times V_k \to F$ definir el lineal mapa de $h_{\varphi} : T \to F$ por $$ h_{\varphi}(\Phi) = \Phi(\varphi) $$ y tenemos $$ h_{\varphi}(\pi(v_1, \ldots, v_k)) = \varphi(v_1, \ldots, v_k) $$ es decir, los factores a través de$T$$\pi$$h_{\varphi}$. Entonces todo funciona muy fácilmente, no desagradable "cociente de construcciones", incluso parece demasiado simple para mí...

He visto en ninguna parte esta definición? Así que ¿por qué no definir de esa manera? He pasado por alto algo? Tenga en cuenta que nosotros no dependen de la reflexividad aquí, como $T$ no tiene que ser todos los de $V^{\ast}$, pero sólo aquellos elementos que surgen a partir de elementos de $V$ (la imagen de la incrustación de objetos). Tal vez la característica universal se rompe porque el lineal mapa no es el único, pero no veo otras opciones?

Answer 1

Se puede alegar que sólo necesita $T$ a ser un subespacio de $V^*$; pero en su construcción, se definen $\pi$ como multilineal mapa de $V_1\times \dots \times V_k\to V^*$, y no es obvio que $\pi$ puede ser restringido para que el dominio $T$. En otras palabras, dado $v_i\in V_i$$i=1,\dots,k$, no es evidente $\pi(v_1,\dots,v_k)=\Phi$ puede ser escrito como $\mu^*$ algunos $\mu\in V$.

Esto es particularmente difícil debido a la incrustación $V\to V^*$ depende de la elección de una base para la $V$.

Tenga en cuenta también que la prueba de la universalización de la propiedad es incompleta : sólo se consideran para los mapas de a $F$, pero la característica universal para multilineal mapa para cualquier espacio vectorial. La extensión puede hacerse para espacios vectoriales si usted elige una base, pero que sería un error para los módulos a través de $\Bbb Z$, por ejemplo; y por otra parte, usted tendría que demostrar que es independiente en la elección de la base (de lo contrario no habría singularidad).

Answer 2

No he leído todos los detalles de su construcción, pero si nos fijamos en Halmos' texto clásico sobre álgebra lineal, Finito dimensionales espacios vectoriales, usted verá que él define $V\otimes W$ como el lineal dual de formas bilineales $V\times W\to k$ donde $k$ es el campo base, que parece ser lo que usted sugiere. Este es el Capítulo 1, $\S$25.

El problema con esto es extenderlo a las infinitas dimensiones espacios vectoriales y arbitraria de los módulos a través de arbitraria de los anillos, por supuesto, como Halmos explica:

Answer 3

Permítanme mencionar algo que no ha sido explícitamente en ninguna de las otras respuestas: su construcción es enfáticamente mal infinito-dimensional espacios vectoriales (no sólo, se tiene que modificar o hacer más trabajo demostrar que funciona, pero simplemente no dan la respuesta correcta en todos).

Esto es más fácil de ver por considerar el caso de $k=1$. El tensor de producto de un solo espacio vectorial $V_1$ debe, naturalmente, ser (isomorfo a) $V_1$ sí, desde multilineal mapa del pliegue $V_1$ es la misma cosa que un lineal mapa en $V_1$. Sin embargo, su definición de la $T$ haría isomorfo a $V$, que es el espacio dual $V_1^*$ en este caso. Si $V_1$ es de dimensiones infinitas, a continuación, $V_1^*$ no es isomorfo a $V_1$!

(Lo básico que va mal con tu argumento en este caso es que usted no ha comprobado la singularidad de su $h_\varphi$. Sólo tienes limitado el valor de $h_\varphi$ sobre los elementos $\Phi$ de la forma $\pi(v_1)$, pero no todo elemento de a $T$ tiene esta forma, desde el $V=V_1^*$ es mayor que $V_1$.)