¿Cuántas cadenas de cuatro dígitos decimales no contienen el mismo dígito tres veces?

Question

Hola a todos.

Recibí la siguiente pregunta como parte de mi curso de Matemáticas Discretas y soy incapaz de resolverla.

¿Cuántas cadenas de cuatro dígitos decimales no contienen el mismo dígito tres veces?

Sé que está relacionado con las reglas de conteo e involucra las reglas del producto y la suma, sin embargo, no puedo decidir qué enfoque tomar para resolver.

Lo que tengo hasta ahora: 1) Solución 1 Número total de combinaciones = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 ^ 4 = 10 000

Número de combinaciones en las que la cadena contiene el mismo dígito tres veces: 1 * 1 * 1 * 10 = 10 * 10 (ya que 0 - 9 son números posibles que se pueden repetir) = 100

Número de combinaciones en las que la cadena no contiene el mismo dígito tres veces: 10 000 - 100 = 9 900

Se necesita ayuda: No sé si esto es correcto. Si no lo es, agradecería mucho que alguien me indicara el método correcto para resolver el problema.

Answer 1

Como señaló Eric en un comentario, no estás teniendo en cuenta el hecho de que hay cuatro posiciones diferentes para el cuarto dígito. El cálculo correcto es

$$ 10^4-4\cdot10\cdot10+3\cdot10=9630\;, $$

donde el último término corrige el hecho de que el segundo término cuenta cada cadena de cuatro dígitos idénticos $4$ veces. Alternativamente, sin contarlas en el segundo término, también se podría escribir

$$ 10^4-4\cdot10\cdot9-10=9630\;. $$

Answer 2

Cadenas malas con exactamente $3$ dígitos iguales:

[Elige el triple] $\;\times\;$ [Elija un solo] $\;\times\;$ [Lugar único] $=\binom{10}{1}\binom91\times 4 = 360$

Cuerdas malas con todo $4$ dígitos mismos : = $10$

Dependiendo de si te refieres a exactamente $3$ mismo o al menos $3$ Lo mismo,
las respuestas son $9640$ o $9630$

Answer 3

Las combinaciones posibles son

axxx-10*9=90

xaxx-10*9=90

xxax-10*9=90

xxxa-10*9=90

xxxx-sólo 10 veces

a puede ser de 0 a 9

así que total=10000-370=9630

Answer 4

Creo que debería funcionar de alguna manera como sigue: Hay $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ cadenas donde todos los dígitos son diferentes y hay $10\cdot(1\cdot1\cdot9\cdot8)\cdot\binom{4}{2}=4320$ donde aparece exactamente un dígito dos veces (la expresión se construye de la siguiente manera: se elige uno de los diez dígitos, este dígito se elige dos veces y los otros dos dígitos se eligen al azar sin reemplazo, pero hay seis maneras de de los dos dígitos iguales en una cadena de cuatro). Queda por incluir las cadenas que contienen dos pares de dígitos cada una. Esto da $10\cdot9\cdot\binom{4}{2}\cdot\frac{1}{2}=270$ porque hay $10\cdot9$ formas en las que podemos elegir dos números y luego queda elegir las diferentes posiciones en las que podemos poner dos de los dígitos en la cadena. La última división tiene en cuenta que cada permutación se elige dos veces. Esto da un total de 9630 cadenas diferentes.

Answer 5

A partir del número máximo de combinaciones de 4 dígitos, tendrás 10.000 posibilidades.

Ahora vamos a ver cómo podemos combinar un solo dígito 3+ veces dentro de ese número de 4 dígitos:

DXXX * 9 different values of D where D != X
XDXX * 9
XXDX * 9
XXXD * 9
XXXX * 1

Así que son 37 combinaciones diferentes. Ahora 37 * 10 dígitos diferentes = 370 maneras de hacer que un dígito aparezca al menos 3 veces.

Por lo tanto, 10.000 - 370 = 9630 números de 4 cifras en los que la misma cifra no aparece 3 veces.