Si los grupos $G$ y $H$ actuar $X$ , lo hace $G\times H$ actuar $X$ ?

Question

Supongamos que dos grupos $G$ y $H$ actuar en un conjunto $X$ .

¿Cuál es la acción de grupo de $G\times H$ en $X$ ?

A partir de las acciones hay un homomorfismo $\varphi\colon G\to S_X$ y $\psi\colon H\to S_X$ . Así que esto induce un homomorfismo del coproducto $\Phi\colon G\times H\to S_X$ , por lo que debería haber una acción.

Identificación de $G$ y $H$ con los subgrupos $\{(g,e):g\in G\}$ y $\{(e,h):h\in H\}$ por las inclusiones en el coproducto, parece $(g,e)$ debe actuar como $g$ y $(e,h)$ debe actuar como $h$ , como $\Phi(g,e)=\varphi(g)$ y $\Phi(e,h)=\psi(h)$ . Desde $(g,h)=(g,e)(e,h)$ Parece que $(g,h)$ debe actuar como $g\cdot (h\cdot x)$ .

Mi preocupación era que $$ ((g_1,h_1)(g_2,h_2))\cdot x=(g_1g_2,h_1h_2)\cdot x=g_1g_2\cdot(h_1h_2\cdot x) $$ pero $$ (g_1,h_2)\cdot((g_2,h_2)\cdot x)=g_1\cdot(h_1\cdot(g_2\cdot (h_2\cdot x)) $$

Si las acciones de $G$ y $H$ "conmutar", esto parece que estaría bien, ya que $$ \psi(h)\varphi(g)=\Phi(e,h)\Phi(g,e)=\Phi((e,h)(g,e))=\Phi(g,h)=\Phi((g,e)(e,h))=\varphi(g)\psi(h) $$

pero esto hace que parezca que cualquier dos acciones de grupo en $X$ de viaje, lo que no parece que deba ser cierto. ¿He cometido un error en alguna parte?

Editar: Me he equivocado y he utilizado el coproducto incorrecto. Pero parece que hay al menos una acción si las acciones de $G$ y $H$ de viaje.

Motivación: Tengo $G$ y $H$ actuando sobre un anillo $X$ y estoy mirando los puntos fijos $X^{G\times H}$ pero no estoy seguro de cuál es la acción de $G\times H$ debería ser.

Answer 1

Supongamos que tenemos un conjunto $X$ equipado con acciones procedentes de dos grupos diferentes:

$$\begin{array}{ll} \alpha:G_1\to{\rm Sym}(X) \\ \beta:G_2\to {\rm Sym}(X) \end{array} $$

Denote $\ker\alpha=K_1$ y $\ker\beta=K_2$ . Automáticamente se induce fiel acciones

$$\overline{\alpha}:G_1/K_1\to{\rm Sym}(X) \\ \overline{\beta}:G_1/K_1\to{\rm Sym}(X) $$

En este momento podemos definir el grupo $H=\overline{\alpha}(G_1/K_1)\cap \overline{\beta}(G_2/K_2)$ . Desde $\overline{\alpha}$ y $\overline{\beta}$ son inyectivas por construcción, tenemos mapas $\overline{\alpha}^{-1}:H\to G_1/K_1$ y $\overline{\beta}^{-1}:H\to G_2/K_2$ . Entonces nuestras dos acciones inducen una acción del producto libre amalgamado $G_1/K_1 *_H G_2/K_2$ . Podríamos haber dicho simplemente que obtenemos una acción del producto libre $G_1*G_2$ pero los elementos de $K_1$ y $K_2$ dentro actúan trivialmente, y entonces las imágenes de $h\in H$ en $G_1/K_1$ actúan igual que sus imágenes en $G_2/K_2$ así que también podríamos codificar ese hecho.

Si $[\alpha(G_1),\beta(G_2)]=1$ en ${\rm Sym}(X)$ entonces podemos decir que hay una acción inducida de $G_1\times G_2$ .

Answer 2

No hay acción de grupo a menos que las acciones de $G$ y $H$ conmutación, en cuyo caso existe una acción natural única. El punto clave es asociatividad en la definición/caracterización de "acción", a saber, que $$ (g_1\times h_1)\cdot \Big((g_2\times h_2)\cdot x\Big) \;=\; (g_1g_2\times h_1h_2)\cdot x $$ Cuando las acciones conmutan, definiendo $(g\times h)\cdot x= g\cdot(h\cdot x)$ y o $h\cdot (g\cdot x)$ da la asociatividad.

Cuando las acciones no conmutan, eso significa que para algunos $g$ y $h$ y $x$ tenemos $g\cdot (h\cdot x)\not=h\cdot (g\cdot x)$ . Esto contravendría la asociatividad, porque, aunque $(g\times 1)$ y $(1\times h)$ ir al trabajo en $G\times H$ , $$ g\cdot (h\cdot x)\;=\; (g\times 1)\cdot \Big((1\times h)(x)\Big) \;=\; \Big((g\times 1)(1\times h)\Big)(x) \;=\; \Big((1\times h)(g\times 1)\Big)(x) \;=\; \ldots \;=\; h\cdot(g\cdot x) $$ contradicción.

(La singularidad es fácil una vez que decimos claramente cuál es el requisito).