En la convergencia de $\sum a_n \cos nx$, $\forall x \in \mathbb R \setminus \pi \mathbb Z$, donde $\{a_n\}$ es monotono

Question

$\{a_n\}$ Sea una secuencia monótona de números reales; ¿Si $\lim_{ n \to \infty} a_n=0$, entonces es cierto que $\sum a_n \cos nx$ es convergente $\forall x \in \mathbb R \setminus \pi \mathbb Z$? ¿Es uniforme la convergencia de la serie $\mathbb R \setminus \pi \mathbb Z$? Es la conversación verdadera, es decir si $\{a_n\}$ ser una secuencia monótona de números reales tales que $\sum a_n \cos nx$ es convergente $\forall x \in \mathbb R \setminus \pi \mathbb Z$, entonces ¿es cierto que $a_n \to 0$?

Answer 1

Sí - en realidad poco más fuerte que el enunciado es verdadero: $\sum a_n e^{inx}$ es convergente (la suma es la parte real de esta). WLOG la $a_n$ son positivos y en disminución. Sumación por partes da, para $x\notin 2\pi\Bbb Z$, \begin{align*} \bigg| \sum_{n=M}^N a_n e^{inx} \bigg| &= \bigg| \sum_{n=M}^{N-1} \bigg( \sum_{k=M}^n e^{ikx} \bigg) (a_n-a_{n+1}) + \bigg( \sum_{k=M}^N e^{ikx} \bigg) a_N \bigg| \\ &= \bigg| \sum_{n=M}^{N-1} \frac{e^{i(n+1)x}-e^{iMx}}{e^{ix}-1} (a_n-a_{n+1}) + \frac{e^{i(N+1)x}-e^{iMx}}{e^{ix}-1} a_N \bigg| \\ &\le \frac2{|e^{ix}-1|} \bigg( \sum_{n=M}^{N-1} (a_n-a_{n+1}) + a_N \bigg) = \frac2{|e^{ix}-1|}a_M. \end{align*} Desde $a_M\to0$, esto se puede hacer a menos de $\varepsilon$ eligiendo $M$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, la serie de $\sum_{n=1}^\infty a_n e^{inx}$ satisface el criterio de Cauchy y por lo tanto converge.

La convergencia no es necesariamente uniforme: $a_n=\frac1n$ es un contraejemplo (el resultado de la serie es ilimitado para $x$ cerca de $2\pi\Bbb Z$).

Yo creo que lo contrario es cierto por el siguiente argumento: si $a_n\not\to0$ $a_n\to L$ algunos $L\neq0$ (desde $\{a_n\}$ es monótona); a continuación, $\sum a_n\cos nx = \sum(a_n-L)\cos nx + L \sum \cos nx$ es la suma de una serie que converge para todos los $x\notin 2\pi\Bbb Z$ y una serie que no convergen en cualquier lugar (ya que sus términos no tienden a $0$), por lo tanto converge para no $x\in 2\pi\Bbb Z$. Uno tiene que lidiar con el caso de $|a_n|\to\infty$ así....

Answer 2

Un poco demasiado largo para un Comentario: $\sum_1^N \cos(nx)=\dfrac{\sin(\frac{Nx}{2})\cos(\frac{1}{2}(N+1)x)}{\sin(\frac{x}{2})}$ (ver aquí). Las sumas parciales se limita así $x\not = k\pi$ $k\in\mathbb{Z}$. Por otra parte, puesto que $a_n$ es monotono disminuye, entonces el resultado de la primera pregunta creo que sigue de la prueba de Dirichlet.