¿Por qué es que el producto de los primeros N números primos + 1 otro primo?

Question

Recientemente me encontré con esta prueba para el hecho de que los números primos son infinitos.

Es una prueba por contradicción. La prueba se supone que los números primos son finitos y hay un primer M que es mayor que cualquier otro primer ahí fuera. Entonces básicamente el producto de todos los números primos hasta, e incluyendo, M y agregar uno a ella, que la fuente de la que he leído esta prueba de reclamaciones es un primer obviamente mayor que M, por lo tanto, una contradicción con nuestra hipótesis de que los números primos son finitos.

Así que ¿por qué es que el producto de los primeros N números primos + 1 otro primo?

Answer 1

No es necesariamente otro primo, pero definitivamente es divisible por otro primo.

Por ejemplo, tome$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031$, que no es primo pero divisible por$59$.

No puede ser divisible por ninguno de esos primeros primos$N$, por lo que debe ser divisible por algún otro primo (o posiblemente, un primo en sí mismo, que también califica bajo la misma definición).

Answer 2

Supongamos que solo hay$n$ primos,$p_1,...,p_n$ y permite$M=p_1...p_n+1$. Si$M$ es compuesto, entonces existe algo de% prime $p_i$ que divide$M$. Es decir, existe algún$k$ tal que$M=p_ik$. Tenga en cuenta también que$p_i$ divide$M-1$. Por lo tanto, hay algunos$\ell$ tales que$M-1=p_i\ell$. Por lo tanto, podemos escribir$M=p_i\ell+1=p_ik$. Alternativamente,$p_i(k-\ell)=1$. Pero esto implica que$p_i$ divide$1$ y esto es imposible. Por lo tanto, la suposición original de que solo hay$n$ primos,$p_1,...,p_n$, debe ser falsa.