El orden máximo de los números enteros coprime a un primer$p$%

Question

El siguiente es un lema que he leído en internet, pero no entiendo la parte de la prueba.

Deje $d$ sea el máximo posible el orden entre los números enteros $a$ primer a $p$. Entonces para cualquier entero $a$ no divisible por $p$, la orden de $a$ divide $d$.

Prueba: Supongamos $b$ ser un elemento de orden $d$, vamos a $k$ ser el orden de $a$, y deje $g=\gcd(k,d)$. A continuación, $a^g$ orden $k/(k,g)=k/g$, e $k/g$ es relativamente primer a $d$. Por lo tanto, $ba^g$ orden $d\cdot k/g$, que por maximality de $d$ implica que el $k/g=1$. Por lo tanto $k|d$.

Una parte que no entiendo es cómo $k/g$ $d$ son relativamente primos. Si puedo tomar $d=6$, $k=4$, $g=2$, a continuación, $k/g$ $d$ no son relativamente primos. Sin embargo, he ido a través de un par de casos para los pequeños números primos, y una situación como nunca surgido, por lo que debe haber algunas restricciones en lo que los valores de $k$ $d$ puede tomar. Podría alguien por favor explicarme esto?

Answer 1

Abajo está la clave del teorema de como se aplica a los arbitraria finito abelian grupos. Ver mi post aquí para ver un ejemplo de cómo se aplica a deducir, más en general, resultado que un número finito de multiplicativa de los subgrupos de un dominio es cíclico. El lema es famoso como "Herstein más difíciles del problema" - ver la nota a continuación.

TEOREMA $\rm\quad\quad\: maxord(G)\ =\ expt(G)\ $ finita grupo abelian $\rm\: G\:,\ $ es decir

$\rm\quad\ \ max\ \{ ord(g) : \: g \in G\}\ =\ min\ \{ n>0 : \: g^n = 1\ \:\forall\ g \in G\}$

Prueba de $\ \:$ Por el lema de abajo, $\rm\: S\: =\: \{ ord(g) : \:g \in G \}$ es un finito conjunto de los naturales cerrado bajo$\rm\ lcm\:$.

Por lo tanto todos los elt $\rm\ s \in S\:$ es un divisor de la max elt $\rm\: m\: $ [más $\rm\: lcm(s,m) > m\:$],$\ $ por lo $\rm\ m = expt(G)\:$.

LEMA $\ $ finita grupo abelian $\rm\:G\:$ tiene una lcm-cerrado orden establecido, es decir, con $\rm\: o(X) = $ orden de $\rm\: X$

$\rm\quad\quad\quad\quad\ \ X,Y \in G\ \Rightarrow\ \exists\ Z \in G:\ o(Z) = lcm(o(X),o(Y))$

Prueba de$\ \ $ Por inducción en $\rm o(X)\: o(Y)\:.\ $ Si $\:1\:$ entonces trivialmente $\rm\:Z = 1\:$. $\ $ De lo contrario,

escribir $\rm\ o(X) =\: AP,\: \ o(Y) = BP',\ \ P'|P = p^m > 1\:,\ $ primer $\rm\: p\:$ coprime a $\rm\: A,B$

A continuación, $\rm\: o(X^P) = A,\ o(Y^{P'}) = B\:.\ $ Por inducción hay un $\rm\: Z\:$ $\rm \: o(Z) = lcm(A,B)$

por lo $\rm\ o(X^A\: Z)\: =\: P\ lcm(A,B)\: =\: lcm(AP,BP')\: =\: lcm(o(X),o(Y))\:$.

NOTA $\ \ $ Este lema se presentó como problema 2.5.11, p. 41 en la primera edición de Herstein del popular libro "Temas de Álgebra". En la 2ª edición Herstein añadió la siguiente nota (problema 2.5.26, p.48)

No se desanime si usted no recibe este problema con lo que sabemos de la teoría de grupo hasta esta etapa. Yo no conozco a nadie, incluyéndome a mí, que lo ha hecho sujeto a la restricción de la utilización de material desarrollado hasta ahora en el texto. Pero es divertido intentarlo. He tenido más de correspondencia sobre este problema que acerca de cualquier otro punto en el que todo el libro."