¿Cuánta prueba se necesita en dicho documento (relacionado con las matemáticas)?

Question

Estoy escribiendo un documento (informe) sobre el Número de Euler $\space e \space$ (a pesar de que no se descubra).

Dentro de este papel, me muestran que:

$${d\over dx} {e^x} = {e^x}$$

**NOTA: ** Esto no es lo que todo el papel se acerca.

Sin embargo, la prueba utiliza el hecho de que:

$$\space {d\over dx}\ln f(x) = {f'(x)\over f(x)}$$

Qué necesito para probar esto primero?

O puedo simplemente dejarlo como conocimientos previos antes de leer el artículo?

**P. S. - ** entiendo que esto no es exactamente una pregunta de Matemáticas en un sentido. Pero es Matemáticas aplicadas y toma un Matemático para responder.

Answer 1

La respuesta a su pregunta depende de lo que espera que sus lectores sepan de antemano. Ya que está escribiendo sobre derivados, ellos deberían conocer el cálculo.

Entonces, el hecho de que$e^x$ sea su propio derivado es probablemente un prerrequisito más conocido que la afirmación sobre los derivados logarítmicos que desea usar para probarlo.

Answer 2

Realmente no has demostrado nada. Usted ha utilizado algo que hay que probar, para "demostrar" que la derivada de $\mathrm e^x$ es en sí mismo. Es realmente un argumento circular.

Yo sugeriría que se puede comprobar a partir de los primeros principios:

$$\mathrm f'(x) = \lim_{h \to 0} \left(\frac{\mathrm f(x+h)-\mathrm f(x)}{h}\right)$$

En su caso, $\mathrm f(x) = \mathrm e^x$, por lo que \begin{eqnarray*}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\mathrm e^x &=& \lim_{h \to 0}\left(\frac{\mathrm e^{x+h}-\mathrm e^x}{h}\right) \\ \\ &=& \lim_{h \to 0}\left(\frac{(\mathrm e^{h}-1)\mathrm e^x}{h}\right) \\ \\ &=& \mathrm e^x \cdot \lim_{h \to 0}\left(\frac{\mathrm e^{h}-1}{h}\right) \end{eqnarray*}

Para probar su declaración de principios que sólo necesitan demostrar que $$\lim_{h \to 0}\left(\frac{\mathrm e^{h}-1}{h}\right)=1$$

Answer 3

Para el registro, estoy de acuerdo con @EthanBolker la respuesta anterior.

Con respecto a la cuestión de si una prueba del hecho de que existe sin asumir la derivada de $e^x$$e^x$, la respuesta es sí.

https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_derivative https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Natural_Logarithm_Function

La igualdad se sigue de la regla de la cadena, y por lo tanto depende de una prueba de que $$ {d \over dx} \ln x = {1 \over x}$$

Uno puede demostrar esto, por ejemplo, usando el teorema fundamental del cálculo y el hecho de que la antiderivada de $\frac{1}{x}$$\ln x$.