Estoy pidiendo pruebas de que el conjunto$ \{ 1,2,4,8,\dots \} \times \{1,3,9,27,\dots \} = \{1,2,3,4,6,8,9,12,\dots \}$ no tiene secuencias aritméticas infinitamente largas dentro. Esto es OEIS A036561 .
¿Qué pasa si permitimos más factores primos$\{2^a 3^b 5^c: a,b,c \in \mathbb{N}\}$?
Una posibilidad es dejar$X = 2^\mathbb{N} \times 3^\mathbb{N}$ y verificar que$X \cap [1,n]$ no tenga suficientes elementos como$n \to \infty$.
No.
Supongamos, por el contrario, que tales secuencias existieron. Deje que$s,s+r,s+2r,s+3r,\ldots$ sea el que tenga$s$% mínimo. Si$\gcd(s,r)>1$, tanto$s$% como$r$ son divisibles por$p\in\{2,3\}$. Entonces la secuencia$s/p,s/p+r/p,s/p+2r/p,\ldots$ sería otra secuencia que viola la minimización de$s$.
Por lo tanto $\gcd(s,r)=1$. Pero luego el teorema de Dirichlet nos dice que hay infinitos números primos en esa secuencia.
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