Demostrando que $||A-B||=||A+B||\Leftrightarrow AB=0$

Question

Tengo que demostrar que

\begin{equation*} ||A-B||=||A+B||\Leftrightarrow AB=0 \end{ecuación*}

y me preguntaba si este enfoque es correcto, o si hay una forma mejor / más elegante para probar esto.

Dados los vectores n-dimensionales A y B, podemos escribir$||A-B||=||A+B||$ como:

\begin{equation*} \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n}(a_j-b_j)^2}=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n}(a_j+b_j)^2}. \end{ecuación*}

Cuadrando ambos lados y expandiendo los binomios:

\begin{equation*} \sum\limits_{j=1}^{n}a^2_j-2a_jb_j+b_j^2=\sum\limits_{j=1}^{n}a^2_j+2a_jb_j+b_j^2. \end{ecuación*}

Simplificando:

\begin{equation*} -\sum\limits_{j=1}^{n}a_jb_j=\sum\limits_{j=1}^{n}a_jb_j,~\text{which holds true if and only if}~\sum\limits_{j=1}^{n}a_jb_j=0. \end{ecuación*}

Como$AB$ es equivalente a$\sum\limits_{j=1}^{n}a_jb_j$, entonces$||A-B||=||A+B||\Leftrightarrow AB=0$

Gracias por adelantado.

Answer 1

Lo que has hecho es correcto, pero creo que es mejor trabajar sin coordenadas; sólo con la definición de la norma en términos del producto escalar:

$$ \ | \ | = +\Sqrt{A\cdot A} \ . $$

A continuación, se puede observar que, desde el $\|A \| \geq 0$,

$$ \|A+B\| = \|B\| \ \Longleftrightarrow \ \|A +B\|^2 = \|B\|^2 . $$

Ahora, por ejemplo, calcular la diferencia

\begin{align} \|A +B\|^2 - \|A-B\|^2 &= (A+B)\cdot (A+B) - (A-B)\cdot(A-B) \\ &= A\cdot A + A\cdot B + B\cdot A + \cdots \end{align}

EDIT. Se me olvidó señalar una evidente interpretación geométrica de este resultado: si se dibuja un paralelogramo con lados de $A$$B$, $A+B$ $A-B$ son las diagonales del paralelogramo, ¿verdad? Estas diagonales son iguales si y sólo si...?