Acabamos de aprender sobre los mapeos cotizados y varias propiedades de la topología cotizada. Tengo curiosidad por la metrizabilidad bajo estos mapeos. En concreto, si $f: X \rightarrow Y$ es una suryección continua cerrada y $X$ es metrizable, ¿se deduce que $Y$ ¿es metrizable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que mi respuesta a esta pregunta proporciona un contraejemplo. Básicamente, el espacio $Y$ descrito allí no es contable en primer lugar.
Es un hecho: $*$ no tiene una base contable en $Y$ .
prueba: Si $\{ U_i : i \in \mathbb{N} \}$ es una familia de vecindades abiertas de $*$ en $Y$ entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que cada uno es de la forma $$ U_i = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} ( (n - \varepsilon_{i,n} , n + \varepsilon_{i,n} ) \setminus \{ n \} ) \cup \{ * \}.$$ También podemos suponer que $\varepsilon_{i,n} \leq \frac{1}{2}$ para todos $i,n$ .
Para cada $i \in \mathbb{N}$ definir $\delta_i = \min \{ \frac{\epsilon_{i,n}}{2} : n \leq i \}$ . Ahora defina $$V = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} ( ( n - \delta_n , n + \delta_n ) \setminus \{ n \} ) \cup \{ * \}.$$
Dado $i \in \mathbb{N}$ ya que $\delta_i < \varepsilon_{i,i}$ se deduce que $U_i \not\subseteq V$ . $\Box$
